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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Determine as matrizes das T L s T : R n → R n :

a   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 t , - t ∈ R 2 ; p a r a   t ∈ R

b   n = 3 , projeção ortogonal sobre o plano x = z

c   n = 2 , projeção ortogonal na reta 2 x - 4 y = 0

d   n = 2 , projeção ortogonal na reta s p a n 0 , - 2

e   n = 4 , projeção ortogonal sobre o plano x - w = 0 y = z

Passo 1

a É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta gerada pelo vetor 2 , - 1 .

Seu complemento ortogonal é dado pela reta gerada pelo vetor 1,2 , logo, definimos a base para o R 2 :

β = 2 , - 1 , 1,2

E temos que:

P 2 , - 1 = 2 , - 1

P 1,2 = 0,0

Então:

x , y = a 2 , - 1 + b 1,2

Aplicando a transformação em ambos os lados:

P x , y = a P 2 , - 1 + b P 1,2

P x , y = a 2 , - 1 + 0

Passo 2

Agora precisamos achar a em função de x e y :

x , y = a 2 , - 1 + b 1,2

x = 2 a + b y = - a + 2 b       I I I

Fazemos 2 I - I I :

2 x - y = 4 a + 2 b + a - 2 b

2 x - y = 5 a

a = 2 x - y 5

Substituindo na transformação:

P x , y = 2 x - y 5 2 , - 1 = 4 x - 2 y 5 , - 2 x + y 5

Passo 3

Para encontrar a matriz basta abrirmos a T L :

P x , y = 4 x - 2 y 5 - 2 x + y 5 = 4 5 - 2 5 - 2 5 1 5 x y

Logo, temos:

P = 4 5 - 2 5 - 2 5 1 5

Passo 4

b   O vetor geral do plano é dado por:

x , y , x = x 1,0 , 1 + y 0,1 , 0

Então, uma base para ele é:

1,0 , 1 , 0,1 , 0

E temos que:

P 1,0 , 1 = 1,0 , 1

P 0,1 , 0 = 0,1 , 0

Seu complemento ortogonal será a reta perpendicular ao plano. A equação do plano é:

x - z = 0

Logo, uma base para seu complemento é o vetor perpendicular a ele, que pode ser dado pelos coeficientes da equação do plano:

1,0 , - 1

E temos que:

P 1,0 , - 1 = 0,0 , 0

Passo 5

Sabemos que unindo a base do plano com a base de seu complemento, temos uma base para o R 3 :

β = 1,0 , 1 , 0,1 , 0 , 1,0 , - 1

Então:

x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 0 + c 1,0 , - 1

P x , y , z = a P 1,0 , 1 + b P 0,1 , 0 + c P 1,0 , - 1

P x , y , z = a 1,0 , 1 + b 0,1 , 0 + 0

Passo 6

Agora falta achar quanto vale a e b em função de x , y , z . Repare que não precisamos mais de c .

x = a + c y = b z = a - c       I I I I I I

Fazendo I + I I I :

x + z = 2 a ⇒ a = x + z 2

E de I I temos que:

b = y

Logo,

P x , y , z = x + z 2 1,0 , 1 + y 0,1 , 0 = x 2 + z 2 , y , x 2 + z 2

Passo 7

Abrindo a T L :

P x , y , z = x 2 + z 2 y x 2 + z 2 = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2 x y z

Dessa forma, a matriz será dada por:

P = 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

Passo 8

c Primeiro passo é achar o vetor que gera essa reta. Temos pela equação da mesma que:

2 x = 4 y ⇒ x = 2 y

Logo, o vetor genérico é da forma 2 y , y = y 2,1 . Ou seja, é uma projeção na direção do vetor 2,1 .

Como estamos no R 2 , o complemento ortogonal dela será uma outra reta gerada pelo vetor - 1,2 . Temos então a base:

β = 2,1 , - 1,2

E temos que:

P 2,1 = 2,1

P - 1,2 = 0,0

Então:

x , y = a 2,1 + b - 1,2

Aplicando a transformação em ambos os lados:

P x , y = a P 2,1 + b P - 1,2

P x , y = a 2,1 + 0

Passo 9

Agora precisamos achar a em função de x e y :

x , y = a 2,1 + b - 1,2

x = 2 a - b y = a + 2 b       I I I

Fazemos 2 I + I I :

2 x + y = 4 a - 2 b + a + 2 b

2 x + y = 5 a

a = 2 x + y 5

Substituindo na transformação:

P x , y = 2 x + y 5 2,1 = 4 x + 2 y 5 , 2 x + y 5

Passo 10

Para encontrar a matriz basta abrirmos a T L :

P x , y = 4 x + 2 y 5 2 x + y 5 = 4 5 2 5 2 5 1 5 x y

Logo, temos:

P = 4 5 2 5 2 5 1 5

Passo 11

d É pedida a matriz que representa a projeção sobre a reta gerada pelo vetor 0 , - 2 . Perceba, no entanto, que ela é a mesma reta gerada pelo vetor 0,1 ;)

Seu complemento ortogonal é dado pela reta gerada pelo vetor 1,0 . Logo, definimos a base para o R 2 :

β = 0,1 , 1,0

E temos que:

P 0,1 = 0,1

P 1,0 = 0,0

Então:

x , y = a 0,1 + b 1,0

Aplicando a transformação em ambos os lados:

P x , y = a P 0,1 + b P 1,0

P x , y = a 0,1 + 0

Passo 12

Agora precisamos achar a em função de x e y :

x , y = a 0,1 + b 1,0

x = b y = a

Temos direto que a = y

Substituindo na transformação:

P x , y = y 0,1 = 0 , y

Passo 13

Para encontrar a matriz basta abrirmos a T L :

P x , y = 0 y = 0 0 0 1 x y

Logo, temos:

P = 0 0 0 1

Passo 14

e   Como temos

x = w

y = z

O vetor geral do plano é dado por:

x , y , y , x = x 1,0 , 0,1 + y 0,1 , 1,0

Então, uma base para ele é:

1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,0

E temos que:

P 1,0 , 0,1 = 1,0 , 0,1

P 0,1 , 1,0 = 0,1 , 1,0

Seu complemento ortogonal será o plano perpendicular ao plano. MAS O QUE? Bom estamos no R 4 , então esse tipo de doidera pode acontecer haha. Mas o procedimento para achar os vetores perpendiculares não será muito diferente. A equação do plano é:

x - w = 0 y - z = 0

Logo, uma base para seu complemento pode ser dada pelos coeficientes de suas equações:

1,0 , 0 , - 1 , 0,1 , - 1,0

E temos que:

P 1,0 , 0 , - 1 = 0,0 , 0,0

P 0,1 , - 1,0 = 0,0 , 0,0

Passo 15

Sabemos que unindo a base do plano com a base de seu complemento, temos uma base para o R 4 :

β = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,0 , 1,0 , 0 , - 1 , 0,1 , - 1,0

Então:

x , y , z , w = a 1,0 , 0,1 + b 0,1 , 1,0 + c 1,0 , 0 , - 1 + d 0,1 , - 1,0

P x , y , z , w = a P 1,0 , 0,1 + b P 0,1 , 1,0 + c P 1,0 , 0 , - 1 + d P 0,1 , - 1,0

P x , y , z , w = a 1,0 , 0,1 + b 0,1 , 1,0 + 0 + 0

Passo 16

Agora falta achar quanto vale a e b em função de x , y , z :

x = a + c y = b + d z = b - d w = a - c       I I I I I I I V

Fazendo I + I V :

x + w = 2 a ⇒ a = x + w 2

Fazendo I I + I I I :

y + z = 2 b ⇒ b = y + z 2

Logo,

P x , y , z , w = x + w 2 1,0 , 0,1 + y + z 2 0,1 , 1,0 = x + w 2 , y + z 2 , y + z 2 , x + w 2

Passo 17

Desmembramos a transformação:

P x , y , z , w = x + w 2 y + z 2 y + z 2 x + w 2 = 1 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2 x y z w

Dessa forma, a matriz erá dada por:

P = 1 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2

Resposta

a   4 5 - 2 5 - 2 5 1 5

b   1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1 2

c   4 5 2 5 2 5 1 5

d 0 0 0 1

e   1 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2

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