Sejam um subespaço vetorial, a projeção ortogonal sobre e :
mostre que ;
mostre que o conjunto é ortogonal para todo .
Passo 1
Bom, vamos lembrar aqui que se algo pertence ao complemento ortogonal, então:
Mas como , então e assim:
Como , a letra está provada XD.
Passo 2
-
Agora temos que verificar se o conjunto é ortogonal. Então, se ele é ortogonal, o produto interno entre seus elementos dará zero. Vamos fazer isso.
Agora vamos aplicar que :
Nós realmente esperávamos que o resultado desse zero, porque assim vemos que eles são ortogonais entre si.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]