Sejam H ⊂ R n um subespaço vetorial, P H a projeção ortogonal sobre H e v ∈ H :

a   mostre que v - P H v ∈ H ⊥ ;

b   mostre que o conjunto { v - P H v ,   P H v - w } é ortogonal para todo w ∈ H .

Passo 1

( a ) Bom, vamos lembrar aqui que se algo pertence ao complemento ortogonal, então:

P H v - P H v = 0 ⇒

P H v - P H P H v = 0

Mas como v ∈ H , então P H v = v e assim:

v - P H v = 0 ∴

v - v = 0

Como v - v = 0 , a letra ( a ) está provada XD.

Passo 2

-

( b ) Agora temos que verificar se o conjunto é ortogonal. Então, se ele é ortogonal, o produto interno entre seus elementos dará zero. Vamos fazer isso.

v - P H v , P H v - w ∴ v , P H v - w + - P H v , P H v - w ∴

v , P H v + v , - w + - P H v ,   P H v + - P H v , - w ∴

Agora vamos aplicar que v ∈ H :

v , v - v , w - v , v + v , w = 0

Nós realmente esperávamos que o resultado desse zero, porque assim vemos que eles são ortogonais entre si.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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