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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

UFES. Álgebra Linear. Prova 3 Manhã. 2017.2. Questão 3A.

Seja W o plano de R 3 formado pelos vetores x ,   y ,   z que satisfazem x - y + z = 0 .

(a) Calcule a projeção ortogonal de v 1 = 1 ,   5 ,   4 e de v 2 = 1 ,   1 ,   3 sobre W .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão foi dado um subespaço W em que é gerado pelos vetores x , y , z que satisfazem a equação x - y + z = 0 .

O objetivo principal da questão é calcular projeção ortogonal dos vetores v 1 = 1 ,   5 ,   4 e v 2 = 1 ,   1 ,   3 no subespaço W , tal que as coordenadas em W satisfaça a equação x - y + z = 0 .

Para dois vetores serem considerados ortogonais o produto interno entre eles deve ser igual a zero. Essa informação é fundamental para resolução da questão pois com ela podemos determinar as equações que determinam as projeções dos vetores.

A partir dessas informações podemos iniciar os cálculos da questão.

Passo 2

Para calcular uma projeção ortogonal do vetor v 1 em W , temos duas informações importantes.

A primeira é o próprio vetor v 1 = 1 ,   5 ,   4 e a segunda é que o subespaço W é gerado pelos vetores x , y , z que satisfazem a equação x - y + z = 0 .

Para projeção de um vetor ser classificada como ortogonal, o produto interno dos dois vetores deve ser igual a zero, ou seja, se o sub espaço W é formado pelos vetores de coordenadas x , y , z   que satisfazem a equação x - y + z = 0 , o produto interno com o vetor v 1 = 1 ,   5 ,   4   deve ser igual a zero

v 1 · W = 0

1 ,   5 ,   4 · x , y , z = 0

1 x + 5 y + 4 z = 0

Tá, mas como essa equação vai nos ajudar a encontrar a projeção ortogonal em W ?

Com essa equação calculada e a equação a qual o subespaço W deve satisfazer, podemos montar um sistema

1 x + 5 y + 4 z = 0 x - y + z = 0

Vamos converter para a forma matricial e escalona-la.

1 5 4 1 - 1 1 0 0 L 2 → L 2 - L 1

1 5 4 0 - 6 - 3 0 0 L 2 → - L 2 6

1 5 4 0 1 1 2 0 0 L 1 → L 1 - 5 L 2

1 0 3 2 0 1 1 2 0 0

Voltando para a forma de equação, temos

x + 3 2 z = 0 y + 1 2 z = 0

x = - 3 2 z y = - 1 2 z z = z

x , y , z = z - 3 2 , - 1 2 , 1

Encontramos a projeção ortogonal de v 1 em W como sendo - 3 2 , - 1 2 , 1 múltiplo de um numero real.

Passo 3

Agora calculando a projeção ortogonal do vetor v 2 em W , vamos seguir os mesmos passos.

Se v 2 = 1 ,   1 ,   3 , então projeção ortogonal em W que satisfaz a equação x - y + z = 0 é

v 2 · W = 0

1 ,   1 ,   3 · x , y , z = 0

1 x + 1 y + 3 z = 0

Montando um sistema com a equação calculada e a equação que satisfaz W , temos

1 x + 1 y + 3 z = 0   x - y + z = 0

Convertendo para a forma matricial para escalonara-la

1 1 3 1 - 1 1 0 0 L 2 → L 2 - L 1

1 1 3 0 - 2 - 2 0 0 L 2 → - L 2 2

1 1 3 0 1 1 0 0 L 1 → L 1 - L 2

1 0 2 0 1 1 0 0

Voltando para a forma de equação, temos

x + 2 z = 0 y + z = 0

x = - 2 z y = - 1 z z = z

x , y , z = z - 2 , - 1,1

Encontramos a projeção ortogonal de v 2 em W como sendo - 2 , - 1,1 múltiplo de um numero real.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Projeção de v 1 : - 3 2 , - 1 2 , 1 · k , tal que k ∈ R

Projeção de v 2 : - 2 , - 1,1 · k , tal que k ∈ R

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