Seja o subespaço vetorial .
a) Encontre uma base ortogonal para .
b) Determine a expressão de .
Passo 1
a) Antes de tudo vamos encontrar , o complemento ortogonal de .
Vamos considerar um vetor qualquer de . Para que ele seja complemento ortogonal de , seu produto interno com os vetores da base de deve ser 0:
Da equação de cima, temos que .
Substituindo isso na equação de baixo, chegamos que .
Então, voltando para vamos ter que .
Logo, nosso vetor genérico de pode ser escrito assim:
Como os vetores e são L.I. (observe que eles não são múltiplos), eles formam uma base para :D
Então a base de vai ser .
Passo 2
b) A projeção de em vai ser a soma da projeção de em com sua projeção em , assim:
Resposta
a)
b)
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