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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2019.2 – P1 – Questão 3

Seja ( i → ,   j → ,   k → ) uma base ortonormal positiva. Sejam O A → = 2 i → + j → + k → , O B → = 2 i → + j → , O C → = 3 i → - j → . Seja w → = 2 O B → - O C → .

  1. Ache P r o j w → O A → , a projeção de O A → sobre w → .
  2. Calcule a área do triângulo ( O A B ) .

Passo 1

  1. Lembra da fórmula da projeção do vetor u → no vetor v → ? É assim, ó:

    2. P r o j v → u → = u → ⋅ v → v → 2 v →

    Beleza, então a projeção de O A → em w → é:

    P r o j w → O A → = O A → ⋅ w → w → 2 w →

    Vamos calcular cada parte: primeiro achamos o módulo de w → ao quadrado.

    w → 2 = 2 O B → - O C → 2 = 2 2,1 , 0 - 3 , - 1,0 2

    w → 2 = 4,2 , 0 - 3 , - 1,0 2

    w → 2 = | 1,3 , 0 ​ 2

    w → 2 = 10

    Agora vamos achar esse produto escalar:

    O A → ⋅ w → = 2,1 , 1 ⋅ 1,3 , 0 = 5

    Beleza, agora é só substituir!

    P r o j w → O A → = O A → ⋅ w → w → 2 w →

    P r o j w → O A → = 5 10 1,3 , 0

    P r o j w → O A → = 1 2 i → + 3 j →

    Passo 2

  2. Falou de área de triângulo já acende um alerta aí pra usar produto vetorial!

S O A B = 1 2 O A → × O B →

Bora calcular esse produto vetorial aí!

O A → × O B → = i → j → k → 2 1 1 2 1 0 = - i → + 2 j →

O A → × O B → = - 1 2 + 2 2 = 5

Beleza, então essa área aí vai ser:

S O A B = 1 2 O A → × O B →

S O A B = 5 2

Resposta

a) P r o j w → O A → = 1 2 i → + 3 j →

b) S O A B = 5 2

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