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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Exercício 6123457891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647

Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q9

Considere o subespaço S = 1 , - 1,1 , 2 , 0,1 , - 2,0 , 0,0 , 1 , - 3     d e   R 4 e o vetor v = 3 , - 1,4 , 2 . Se R 4 está munido do produto interno usual, e v = v 1 + v 2 , com v 1 ∈ S e v 2 = a , b , c , d   ∈ S ⊥ , então 47 ( a + b + c + d ) é igual a

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Bom, para começar essa questão precisamos notar que v 2 = P r o j S ⊥ ( v ) , para entendermos isso podemos pensar que v é combinação de um vetor de S e outro de S ⊥ , ou seja, a parte de v de S ⊥ é o v 2 , em outras palavras v 2 = P r o j S ⊥ ( v )

Além disso:

w   ∈ S ⊥   ↔ w ⊥ 1 , - 1,1 , 2   ,   w ⊥ 0,1 , - 2,0   e   w ⊥ 0,0 , 1 , - 3

Além disso, w ⊥ u   →   w , u = 0

Passo 2

Logo, basta fazermos   w , 1 , - 1,1 , 2 = w , 0,1 , - 2,0 = w , 0,0 , 1 , - 3 = 0

Tomando w = ( α , β , γ , δ )

α - β + γ + 2 δ = 0 β - 2 γ = 0                               γ - 3 δ = 0                              

α = β - γ - 2 δ               β = 2 γ                                                 γ = 3 δ                                                

Substituindo as 2 últimas na primeira:

α = δ   β = 2 γ γ = 3 δ

α = δ   β = 6 δ γ = 3 δ

Passo 3

Ou seja:

w = α , β , γ , δ = δ ( 1,6 , 3,1 )

Portanto S ⊥ = ( 1,6 , 3,1 ) , vamos chamar w 1 = ( 1,6 , 3,1 )

Agora vamos lembrar o que precisamos:

v 2 = P r o j S ⊥ v = P r o j w 1 v

Lembrando que v = ( 3 , - 1,4 , 2 )

v 2 = v , w 1 w 1 2 w 1 = 3 - 6 + 12 + 2 1 + 6 2 + 3 2 + 1   1,6 , 3,1 = 11 47 ( 1,6 , 3,1 )

Lembrando que   v = a , b , c , d

Logo

v 2 = 11 47 1,6 , 3,1 = ( a , b , c , d )

Como queremos 47 a + b + c + d → 47 11 47 1 + 6 + 3 + 1 = 11 11 = 121

Resposta

Letra A

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