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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q13

Em P ( R ) , com produto interno definido por p , q = ∫ 0 1 p t q t d t , seja a + b t , com a , b   ∈ R , o polinômio de grau menor ou igual a 1 mais próximos do polinômio t 7 . Então, 12 ( a + b ) é igual a

a   7

b   9

c   6

d   5

e   4

Passo 1

Falaaa, blz?? Bom, primeiro temos que entender quem é esse tal de “polinômio de grau menor ou igual a 1 mais próximos do polinômio t 7 " , ou seja, o que procuramos é a projeção desse polinômio t 7 sobre o espaço dos polinômios de grau 1.

Tomando v t = t 7

P 1 R = 1 , t , pois 1 , t é base desse espaço.

Um vetor de P 1 R se escreve como a 1 + b t ,   l o g o   c o m o   p r o j P 1 R v ∈ P 1 R :

p r o j P 1 R v = a + b t

Vamos chamar u 1 = 1   e   u 2 = t

Passo 2

Agora basta acharmos u 1 , p r o j v   e   u 2 , p r o j v ,   o u   s e j a :

u 1 , v = u 1 , a u 1 + b u 2 =   a u 1 , u 1 + b u 1 , u 2 u 2 , v = u 2 , a u 1 + b u 2 =   a u 2 , u 1 + b u 2 , u 2

Pois a solução desse sistema será os valores de a e b de:

p r o j P 1 R v = a + b t

Essa é uma das formas de achar a e b, pois é uma equação que envolve coisas que conhecemos (os produtos internos).

Passo 3

Mas como temos que:

P r o j u 1 v = v , u 1 u 1 , u 1 u 1

P r o j u 2 v = v , u 2 u 2 , u 2 u 2

Agora, temos que:

v , u 1   =   ∫ 0 1 v t u 1 t d t = ∫ 0 1 t 7 d t = 1 8  

u 1 , u 1 = ∫ 0 1 u 1 2 t d t   = 1

v , u 2 = ∫ 0 1 v t u 2 t d t =   ∫ 0 1 t 8 d t = 1 9

u 1 , u 2 = ∫ 0 1 t d t = 1 2

u 2 , u 2 = ∫ 0 1 u 2 2 t d t = ∫ 0 1 t 2 d t = 1 / 3      

Ou seja, voltando no nosso sistema:

u 1 , v =   a u 1 , u 1 + b u 1 , u 2 u 2 , v =   a u 2 , u 1 + b u 2 , u 2

1 8 = a + b 1 2 1 9 = a 1 2 + b ( 1 3 )

Resolvendo esse sistema, temos que:

a =   - 1 6   e   b = 7 12

Logo:

12 a + b = 12 - 1 6 + 7 12 = 5

Resposta

Letra D

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