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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

A3 T11 T12 T17

Considere os subespaços de R 4 (com < , > usual) abaixo:

W ⊥ = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 1,1     e     U = 0 , - 1,0 , 1 , 1 , - 1,1 , 1

b Seja T : R 4 → R 4 o operador projeção ortogonal em U . Determine T x , y , z , t .

Passo 1

Temos várias formas de resolver esse exercício. Vou resolver de duas e vocês decidem qual gostaram mais ;)

Para encontrarmos a T L que projeta sobre um subespaço precisamos de uma base para esse subespaço, o que já temos, e uma base para seu complemento ortogonal! Vamos encontrá-la então:

x , y , z , t , 0 , - 1,0 , 1 = - y + t = 0 x , y , z , t , 1 , - 1,1 , 1 = x - y + z + t = 0       I I I

De I temos:

y = t

Substituindo em I I :

x - t + z + t = 0

x + z = 0

z = - x

Então nosso vetor genérico de U ⊥ é:

x , y , - x , y = x 1,0 , - 1,0 + y 0,1 , 0,1

E uma base para U ⊥ é:

β = 1,0 , - 1,0 , 0,1 , 0,1

Passo 2

Como a soma de U com U ⊥ é direta, a união de suas bases é uma base do R 4 . Logo, podemos escrever qualquer vetor do R 4 como combinação dos vetores dessa base:

x , y , z , t = a 0 , - 1,0 , 1 + b 1 , - 1,1 , 1 + c 1,0 , - 1,0 + d 0,1 , 0,1

Vamos encontrar quem são os coeficientes a e b . Repare que não precisamos de c e d já que eles vão zerar daqui a pouco!

b + c = x - a - b + d = y b - c = z a + b + d = t       I I I I I I I V

Fazendo I + I I I :

2 b = x + z

b = x + z 2

Substituindo b em I V - I I :

2 a + 2 b = t - y

2 a + x + z = t - y

2 a = - x - y - z + t

a = - x - y - z + t 2

Passo 3

Lembrando que a T L aplicada nos vetores de U ⊥ leva eles no zero e aplicada nos vetores de U leva neles mesmos! Então, se aplicarmos a T L em ambos os lados, teremos:

T x , y , z , t = a T 0 , - 1,0 , 1 + b T 1 , - 1,1 , 1 + c T 1,0 , - 1,0 + d T 0,1 , 0,1

T x , y , z , t = a 0 , - 1,0 , 1 + b 1 , - 1,1 , 1

Substituindo os valores de a e b :

T x , y , z , t = - x - y - z + t 2 0 , - 1,0 , 1 + x + z 2 1 , - 1,1 , 1

T x , y , z , t = 1 2 x + z , y - t , x + z , t - y

Passo 4

Beleza, essa foi a promeira forma! A segunda seria arrumarmos uma base ortogonal w 1 , w 2 de U e projetarmos um vetor genérico b = x , y , z , t usando a fórmula:

P U b = b , w 1 w 1 , w 1 w 1 + b , w 2 w 2 , w 2 w 2

Já temos, uma base para U , mas será que ela é ortogonal? Vamos ver:

0 , - 1,0 , 1 , 1 , - 1,1 , 1 = 1 + 1 = 2

Não são =(. Então vamos ortogonalizar eles usando a Ortogonalização de Gram-Schmidt! Definimos a base ortogonal β de U como:

β = w 1 , w 2

w 1 = 0 , - 1,0 , 1

w 2 = 1 , - 1,1 , 1 - 1 , - 1,1 , 1 , 0 , - 1,0 , 1 0 , - 1,0 , 1 , 0 , - 1,0 , 1 0 , - 1,0 , 1 = 1 , - 1,1 , 1 - 2 2 0 , - 1,0 , 1 = 1,0 , 1,0

β = 0 , - 1,0 , 1 , 1,0 , 1,0

Passo 5

Agora que temos nossa base ortogonal podemos usar a fórmula:

P U x , y , z , t = x , y , z , t , 0 , - 1,0 , 1 0 , - 1,0 , 1 , 0 , - 1,0 , 1 0 , - 1,0 , 1 + x , y , z , t , 1,0 , 1,0 1,0 , 1,0 , 1,0 , 1,0 1,0 , 1,0

P U x , y , z , t = - y + t 2 0 , - 1,0 , 1 + x + z 2 1,0 , 1,0

P U x , y , z , t = 1 2 x + z , y - t , x + z , t - y

Resposta

T x , y , z , t = 1 2 x + z , y - t , x + z , t - y

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