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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Sejam u = 1 , 2,2 ,   v = 1,1 , 0 e   w = ( 1,0 , 1 ) vetores do R 3 . Calcule a projeção ortogonal de u em H = s p a n { v , w } , utilizando a transformação projeção ortogonal, sabendo que u ∉ s p a n { v , w } .

Passo 1

Bom, como sabemos que u ∉ H , então vamos ver se pertence ao complemento ortogonal de H .

Achemos primeiro o complemento ortogonal:

1,1 , 0 , x , y , z = 0

1,0 , 1 , x , y , z = 0

Montando o sistema:

x + y = 0 ⇒ - z + y = 0 ⇒ y = z x + z = 0 ⇒ x = - z

Assim, o complemento ortogonal é:

x , y , z = - z , z , z = z ( - 1,1 , 1 )

Como ( 1 , 2,2 ) não é múltiplo de ( - 1,1 , 1 ) , u ∉ H ⊥ .

Passo 2

Só nos resta agora calcular a expressão em si da nossa projeção. Para isso, precisamos de uma base para o nosso domínio. Como já temos os geradores de H e H ⊥ , uma possível base para o domínio, e muito conveniente, é:

β = 1,1 , 0 , 1,0 , 1 , - 1,1 , 1

Então, vamos começar a construir nossa P H :

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 + c - 1,1 , 1 ⇒

P H x , y , z = a P H 1,1 , 0 + b P H 1,0 , 1 + c P H - 1,1 , 1 ⇒

P H x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 + 0

Passo 3

Agora falta achar quanto vale a . b em função de x , y , z . Repare que não necessitamos de c , já que o vetor que o multiplicava pertencia ao complemento ortogonal de H , e a projeção deste é zero.

x = a + b - c y = a + c z = b + c       I I I I I I

Fazendo I + ( I I ) :

x + y = 2 a + b ( I V )

E I + ( I I I ) :

x + z = a + 2 b ⇒ a = x + z - 2 b ( V )

Substituindo V em   ( I V ) :

x + y = 2 x + 2 z - 4 b + b ⇒

3 b = x + 2 z - y ⇒

b = x + 2 z - y 3 ∴

x + z = a + 2 x + 4 z - 2 y 3 ⇒

3 x + 3 z = 3 a + 2 x + 4 z - 2 y ⇒

3 a = x - z + 2 y ∴

a = x - z + 2 y 3

Passo 4

Logo, nossa fórmula fica:

P H x , y , z = a 1,1 , 0 + b 1,0 , 1 ⇒

P H x , y , z = x - z + 2 y 3 1,1 , 0 + x + 2 z - y 3 1,0 , 1 ⇒

P H x , y , z = 2 x + z + y 3 , x - z + 2 y 3 , x + 2 z - y 3

E finalmente P H ( 1,2 , 2 ) vale:

P H 1,2 , 2 = ( 2,1 , 1 )

Resposta

P H 1,2 , 2 = ( 2,1 , 1 )

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