Dados os planos e , a reta e o ponto :
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre o plano .
Passo 1
Vamos supor uma reta que contenha o ponto e seja perpendicular a . A projeção ortogonal de em vai ser a intersecção de com .
Como é perpendicular a , seu vetor diretor vai ser o vetor normal de , ou seja, . Logo, a equação vetorial de é
Um ponto genérico de é , vamos substituir esse ponto na equação de para acharmos a intersecção com beleza?
Passo 2
Substituindo o ponto na equação de :
Daí temos que
Substituindo esse valor de no ponto genérico , ele fica assim
Esse ponto é a projeção ortogonal do ponto no plano :)
Resposta
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Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]