Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

Ver Teoria
Exercício 3012345678910111213141516171819202122232425262728293132333435363738394041424344454647

Enunciado

UFES, Álgebra Linear, P3 Tarde, 2017.2 - Questão 2a

Seja W um subespaço de R ³ formado pelos vetores ( x , y , z ) tais que x + y = 0

a) Determine a projeção ortogonal dos vetores v 1 = ( 3 , - 3,8 ) e de v 2 = ( 1,2 , 3 ) sobre W

Passo 1

Fala pessoal! Bora pra mais uma!

Antes de qualquer coisa:

Temos um subespaço formado por vetores ( x , y , z ) , mas esses vetores cumprem com a condição de que

x + y = 0

Ou seja:

x = - y

Opa, então já sabemos que os vetores desse subespaço W podem ser escritos assim:

x , y , z = ( - y , y , z )

- y , y , 0 + 0,0 , z = y ∙ - 1,1 , 0 + z ∙ 0,0 , 1

Ou seja, o subespaço W é gerado pelos vetores:

w 1 = - 1,1 , 0

w 2 = ( 0,0 , 1 )

Passo 2

Nesse item, queremos encontrar a projeção ortogonal desses dois vetores no subespaço W :

v 1 = 3 , - 3,8

v 2 = 1,2 , 3

Lembrando que o subespaço W é gerado por:

w 1 = - 1,1 , 0

w 2 = ( 0,0 , 1 )

Quando queremos encontrar a projeção ortogonal de determinado vetor v em um subespaço gerado por w 1 e w 2 , vamos usar:

p r o j W v = v ∙ w 1 w 1 ∙ w 1 w 1 + v ∙ w 2 w 2 ∙ w 2 w 2

Então vamos aplicar essa fórmula para v 1 e v 2 😉

Passo 3

Para a projeção do vetor v 1 = ( 3 , - 3,8 ) sobre o subespaço W , vamos ter

p r o j W v 1 = v 1 ∙ w 1 w 1 ∙ w 1 w 1 + v 1 ∙ w 2 w 2 ∙ w 2 w 2

p r o j W v 1 = ( 3 , - 3,8 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) + ( 3 , - 3,8 ) ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 ) ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 )

Fazendo os produtos escalares:

p r o j W v 1 = - 3 - 3 1 + 1 ( - 1,1 , 0 ) + 8 1 ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 1 = - 3 ∙ - 1,1 , 0 + 8 ∙ ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 1 = 3 , - 3 , 0 + ( 0,0 , 8 )

Então, a projeção de v 1 no subespaço W é

p r o j W v 1 = ( 3 , - 3,8 )

Opa, é ele mesmo hahahaha

Repara que v 1 já pertence ao subespaço W , porque a soma de x + y é igual a 0 :

3 + - 3 = 0

Agora vamos pro w 2

Passo 4

Para a projeção do vetor v 2 = ( 1,2 , 3 ) sobre o subespaço W , vamos ter

p r o j W v 2 = v 2 ∙ w 1 w 1 ∙ w 1 w 1 + v 2 ∙ w 2 w 2 ∙ w 2 w 2

p r o j W v 2 = ( 1,2 , 3 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) ∙ ( - 1,1 , 0 ) ( - 1,1 , 0 ) + ( 1,2 , 3 )   ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 ) ∙ ( 0,0 , 1 ) ( 0,0 , 1 )

Fazendo os produtos escalares:

p r o j W v 2 = - 1 + 2 1 + 1 ( - 1,1 , 0 ) + 3 1 ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 2 = 1 2 ∙ - 1,1 , 0 + 3 ∙ ( 0,0 , 1 )

p r o j W v 2 = - 1 2 , 1 2 , 0 + ( 0,0 , 3 )

Então, a projeção de v 2 no subespaço W é

p r o j W v 2 = - 1 2 , 1 2 , 3

E fechouuu! Arrasamos!

Resposta

p r o j W v 1 = ( 3 , - 3,8 )

p r o j W v 2 = - 1 2 , 1 2 , 3

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]