USP, 2019.1, P1, Q2
Sejam , , vetores de , com tais que a medida do ângulo entre quaisquer dois vetores desses vetores seja igual a radianos. Então a projeção ortogonal de sobre é igual a
Passo 1
Falaaaaa, tranquilo???? Vamos começar essa questãozinha envolvendo projeção de vetores.
Bom, primeiro vamos lembrar como se calcula a projeção de um vetor
Além disso, vamos lembrar algumas propriedades de produto escalar:
Passo 2
Bom, então agora basta irmos para as contas...
Chamaremos de
Já vimos que precisaremos fazer
E pelo enunciado sabemos que
Passo 3
Substituindo:
Resposta
Letra D
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Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]