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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Prova ÁAlgebra Linear I – Pp1 – USPusp – Ssem Ccampus – 2016 – Qquestão 8

Q8. Sejam   v → ,   w → ∈ V 3 tais que v → = 13 ,   w → = 12 e v → - w → = 5 . Pode-se afirmar que:

  1. w → = p r o j w →   v →
  2. O conjunto v → , w → é linearmente dependente
  3. w → = 3   p r o j w →     v →
  4. v → = p r o j v →     w →
  5. v → = 2   p r o j v     w →

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.

Vamos ver se w → e v → são alinhados?

v → - w → =   v → - w → → 5 = 13 - 12             f a l s o

Logo v → e w → são linearmente independentes. Agora vamos ver sobre as projeções?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Seja o esquema a seguir:

Assim:

p r o j w →   v → = w → ∙ v → w → 2 ∙ w →

Não temos como fazer w → ∙ v → , certo?!

Mas veja que:

w → ∙ v → = w → ∙ v → cos ⁡ θ

E:

v → - w → = v → 2 + w → 2 - 2 v →   w → cos ⁡ θ

Substituindo os valores:

5 2 = 13 3 + 12 2 - 2 * 13 * 12 * cos ⁡ θ → cos ⁡ θ = 12 13

Logo:

w → ∙ v → = w → ∙ v → cos ⁡ θ = 13 * 12 * 12 13 = 144

Então:

p r o j w →   v → = w → ∙ v → w → 2 ∙ w → = 144 12 2   w → = w →

Passo 3

Sendo assim, provamos que a afirmação do item a) é verdadeiro, e desbancamos as outras simplesmente pelo cálculo da projeção

Resposta

Letra a)

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