UFPE, 3°EE-2019.2
Seja um espaço vetorial qualquer munido de um produto interno e seja uma base ortonormal de com relação a esse produto interno.
- Se e , explique como calcular sem conhecer a expressão que define esse produto interno.
- Determine o ângulo entre e .
- Determine a projeção ortogonal de sobre .
Passo 1
Belezoca de motoca galerinha, o enunciado disse pra gente que é um espaço vetorial que possui um produto interno , e além disso, temos que é uma base ortonormal de . Sabendo disso, na letra (a) ele deu pra gente dois vetores escritos nessa base :
E pede pra gente explicar como calcular sem conhecer a expressão que define esse produto interno.
Passo 2
Show de bola galerinha, geralmente a gente sempre tem um produto interno definido pelo enunciado. Por exemplo, o produto interno usual onde a gente multiplica termo a termo. Só que não é o que acontece aqui, pois o enunciado só garante pra gente que existe um produto interno definido, só não disse qual rsrs
MAAASSS, é agora que começa a malandragem, porque ele não nos deu o produto interno, mas ele nos deu outras informações muito interessantes. Por exemplo, ele diz que e , estão escritos na base , e , só que essa base é uma base ortonormal, isto é, todos os vetores são ortogonais entre si e de sobra o módulo deles é igual a 1. Ser ortogonal, quer dizer que o produto interno entre vetores distintos é igual a :
E agora ser ortonormal, quer dizer que além dos vetores serem ortogonais, o módulo deles é igual a :
E para calcular um módulo, também usamos o produto interno, através da fórmula:
Ou seja, a base em que os vetores e estão escritos, tem um produto interno muito bem sedimentado pelas características que ele carrega (ortonormalidade), dessa forma a expressão do produto interno não importa, o cálculo é exatamente como o produto interno usual/canônico.
Passo 3
Belezera, agora na letra (b), ele já deu uma cara para os nossos vetores e :
Além disso, ele pede pra gente calcular o ângulo entre esses vetores. E pra fazermos isso, primeiro podemos escrever os vetores dessa forma:
Assim, podemos representar somente os coeficientes que acompanham os vetores da base, logo:
Xuxu beleza galeris, agora precisamos lembrar que o ângulo entre dois vetores e é relacionado através da equação:
Onde representa o produto interno entre os vetores e , e é a multiplicação entre a norma de e a norma de . E como acabamos de ver na Letra (a), o produto interno para essa base dentro do espaço é idêntico ao usual, então:
E para as normas, temos que :
E para :
Passo 4
Portanto juntando tudo que encontramos na equação:
Temos que:
E aplicando a função inversa nos dois lados, obtemos:
Portanto o ângulo entre os vetores e é:
Passo 5
Show de bolinhas então pessoal, agora na letra (c), queremos encontrar o projeção ortogonal dos mesmo vetor sobre o vetor . E o bizu matador aqui, é a gente usar a fórmula da projeção ortogonal. Pra esse caso onde projetamos o vetor no vetor , temos:
E como a gente é malandro, já descobrimos o valor de e de no item (b):
E para , vimos que , maass:
Logo:
Juntando tudo, temos que:
Portanto:
Resposta
- Explicação.