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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

A3 T12

A é uma matriz que projeta cada vetor de R 3 , ortogonalmente, sobre o plano - z + 2 y + x = 0 . A segunda coluna da matriz A é:

( a )   - 2 2 2 T

( b ) - 1 3 1 3 1 3 T

( c ) 1 3 - 1 6 0 T

( d ) 1 6 1 3 5 6 T

Passo 1

Opa, lembra que toda matriz ortogonal é simétrica? Então, se conhecemos a segunda coluna da matriz também conhecemos a segunda linha certo? E o que vai acontecer quando aplicamos um vetor nessa matriz? Se liga:

* a * a b c * c * x y z = * a x + b y + c z *

Então a segunda coordenada do vetor resultante vai ser o produto interno entre nosso vetor e a segunda linha da matriz.

Beleza, então se x , y , z for um vetor no plano - z + 2 y + x = 0 ele tem que ser levado nele mesmo certo? Então o produto interno tem que a segunda coordenada dele. Vamos testar as alternativas!

Uma base para os vetores do plano é:

x = - 2 y + z

- 2 y + z , y , z

- 2,1 , 0 , 1,0 , 1

Aplicando o - 2 , 1,0 :

a * - 2 * - 2 2 2 * 2 * - 2 1 0 = * 6 *

b * - 1 3 * - 1 3 1 3 1 3 * 1 3 * - 2 1 0 = * 1 *

c * 1 3 * 1 3 - 1 6 0 * 0 * - 2 1 0 = * - 5 6 *

d * 1 6 * 1 6 1 3 5 6 * 5 6 * - 2 1 0 = * 0 *

Opa! A única opção em que a segunda coordenada se mantém inalterada é a b , então ela tem que ser a resposta!

Resposta

Letra ( b )

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