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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere as retas r : X = - 2 ,   1 ,   2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) e s : y + z = - 3 11 x - y = 13 e o plano π : 2 x - 3 y + 5 z = 3 .

a) Determine a posição relativa entre r e π .

b) Determine a posição relativa entre r e s .

c) Escreva uma equação vetorial para a reta s ' que é a projeção ortogonal da reta s sobre o plano π .

Passo 1

a) Antes de tudo, temos que o vetor diretor de r é v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) , enquanto o vetor normal de π é n → = ( 2 ,   - 3 ,   5 ) .

Se fizermos o produto escalar entre v → e n → teremos:

1 ,   - 1 ,   - 1 . 2 ,   - 3 ,   5 = 2 + 3 - 5 = 0

Isso quer dizer que v → e n → são perpendiculares, e consequentemente o plano π é paralelo à reta r .

Agora precisamos testar se r ⊂ π jogando um ponto de r na equação de π e ver se isso é verdadeiro. Vamos usar o ponto - 2 ,   1 ,   2 , dado na equação de r :

2 x - 3 y + 5 z = 3

2 . ( - 2 ) - 3 . 1 + 5 . 2 = 3

- 4 - 3 + 10 = 3

3 = 3

Ou seja, procede, a reta r está contida no plano π .

Passo 2

b) Resolvendo o sistema que define a reta s , temos que y = 11 x - 13 e z = - 3 - 11 x - 13 = - 11 x + 10 . Daí temos

x ,   y ,   z = ( x ,   11 x - 13 ,   - 11 x + 10 )

x ,   y ,   z = x 1 ,   11 ,   - 11 + ( 0 ,   - 13 ,   10 )

Logo, uma equação vetorial para a reta s é

s : X = 0 ,   - 13 ,   10 + λ ( 1 ,   11 ,   - 11 )

Onde o vetor diretor de s é u → = ( 1 ,   11 ,   - 11 ) .

Passo 3

Como os vetores u → e v → não são paralelos, as retas s e r não são paralelas.

Vamos ver se elas são coplanares. Utilizando B = ( 0 ,   - 13 ,   10 ) ∈ s e A = ( - 2 ,   1 ,   2 ) ∈ r , temos que A B → = 2 ,   - 14 ,   8 = 2 ( 1 ,   - 7 ,   4 ) .

A B → 2 ,   v → ,   u → = 1 - 7 4 1 - 1 - 1 1 11 - 11 = 62 - 62 = 0

Logo, as retas r e s são concorrentes.

Passo 4

c) s ' vai ser a reta que passa por s ∩ π e pela projeção ortogonal de algum outro ponto de s sobre π .

Um ponto genérico de s , de acordo com a sua equação, é ( λ ,   - 13 + 11 λ ,   10 - 11 λ ) . Vamos substituir esse ponto na equação de π para encontrarmos s ∩ π :

2 λ - 3 ( - 13 + 11 λ ) + 5 ( 10 - 11 λ ) = 3

- 86 λ = - 86

λ = 1

Substituindo esse valor de λ no ponto genérico, temos

s ∩ π = Q = ( 1 ,   - 2 ,   - 1 )

Passo 5

Vamos projetar o ponto B em π fazendo a intersecção da reta l : X = B + λ n → com π .

l : X = 0 ,   - 13 ,   10 + λ ( 2 ,   - 3 ,   5 )

Um ponto genérico de l é ( 2 λ ,   - 13 - 3 λ ,   10 + 5 λ ) . Substituindo esse ponto na equação de π :

2 ( 2 λ ) - 3 ( - 13 - 3 λ ) + 5 ( 10 + 5 λ ) = 3

λ = - 43 19

Substituindo esse λ no ponto genérico, temos

B ' = - 86 19 ,   - 118 19 ,   - 25 19

Portanto, uma equação vetorial para a reta que passa por Q e B ' é X = Q + λ Q B ' → .

s ' : X = 1 ,   - 2 ,   - 1 + λ ( 105 ,   80 ,   6 )

Resposta

a) r ⊂ π

b) Concorrentes.

c) s ' : X = 1 ,   - 2 ,   - 1 + λ ( 105 ,   80 ,   6 )

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