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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

UFPE – Geometria Analítica – 2018.1 – P1 – Questão 5

Dados os vetores u → = ( 3 , - 2 ,   6 ) , v → = ( - 3 ,   - 5 ,   8 ) e w → = ( 1 ,   0 ,   1 ) .

  1. Calcule u → × v → .
  2. Obtenha a projeção ortogonal de w → sobre u → × v → .
  3. Calcule o volume do tetraedro construído sobre u → , v → e w → .

Passo 1

  1. Produto vetorial é moleza! É só a gente calcular aquele determinante famosíssimo!

    2. u → × v → = i → j → k → 3 - 2 6 - 3 - 5 - 8

    Pela regra de Sarrus, vamos encontrar:

    u → × v → = 14 i → - 42 j → - 21 k →

    u → × v → = 14 ,   - 42 ,   - 21

    u → × v → = 7 2 ,   - 6 ,   - 3

    Passo 2

  2. Pra facilitar aqui na frente, vou chamar de u → × v → de z → . Pra achar a projeção de w → em z → , vamos usar a fórmula da projeção. Vou dizer que p → é o vetor projetado.

    3. p → = p r o j z → w → = w → ⋅ z → z → ⋅ z → z →

    p → = 1 ,   0 ,   1 ⋅ 14 ,   - 42 ,   - 21 14 ,   - 42 ,   - 21 ⋅ 14 ,   - 42 ,   - 21 14 ,   - 42 ,   - 21

    p → = - 7 14 2 + 42 2 + 21 2 14 ,   - 42 ,   - 21

    Simplificando, vamos obter:

    p → = - 2 49 , 6 49 , 3 49

    Passo 3

  3. Agora, pra matar, vamos achar o volume do tetraedro formado pelos vetores. Moleza! O volume do tetraedro é um sexto do módulo do produto misto!

V = | [ u → ,   v → ,   w → ] | 6

O produto misto é igual a:

u → ,   v → ,   w → = w → ⋅ u → × v →

u → ,   v → ,   w → = 1 ,   0 ,   1 ⋅ 14 ,   - 42 ,   - 21

u → ,   v → ,   w → = - 7

E o módulo é, portanto, 7 . Então:

V = 7 6

Resposta

  1. u → × v → = 7 2 ,   - 6 ,   - 3
  2. p → = - 2 49 , 6 49 , 3 49
  3. V = 7 6

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