Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considere o vetor x → = ( 1,3 , 2 ) e o plano π : x + 2 y + z - 7 = 0 . Se x → = u → + v → com u → // π , v → = ( α , β , γ ) , então α + β + γ é igual a:

Passo 1

Falaaaa, beleza??? Bom, nessa questão a motivação aparece quando desenhamos o que tá rolando, então vamos fazer isso:

Veja que pela figura nós temos a seguinte situação:

v → é a projeção do vetor x →   na direção do vetor normal   ao plano   n → .

Lembrando que se temos um plano do tipo a x + b y + c z = d o vetor ( a , b , c ) é um vetor normal ao plano.

No nosso plano temos que n → = ( 1,2 , 1 ) é normal a π .

Passo 2

Vamos lembrar a “fórmula” para calcular a projeção de um vetor sobre outro...

A projeção de x →   sobre n → é dada por:

P r n →   ⁡ x → = ( x → ∙ n → ) n → 2 n →  

Passo 3

Vamos substituir os valores da questão:

v → = P r n →   ⁡ x → = ( x → ∙ n → ) n → 2 n →   = 1,3 , 2 ∙ 1,2 , 1 ( 1 2 + 2 2 + 1 2 )   1,2 , 1 =  

= 9 6 1,2 , 1 = 3 2 ,   3 , 3 2 = α , β , γ

Logo α + β + γ = 6

Resposta

α + β + γ = 6

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