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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Em uma base ortonormal E são dados os vetores v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) e w → = - 2 , 1 2 , 1 2 . Determine todos os vetores u → = ( a ,   b ,   c ) que satisfazem as condições:

  • P r o j v → u → = - 1 3 , 1 3 , 1 3
  • u → ⊥ v → ∧ w →
  • u → é unitário.

Passo 1

Vamos montar cada condição separadamente ok?

Na primeira condição, queremos que P r o j v → u → = - 1 3 , 1 3 , 1 3 , aplicando a fórmula da projeção, temos:

u → . v → v → . v → v → = - 1 3 , 1 3 , 1 3

Mas peraí, concorda que - 1 3 , 1 3 , 1 3 é a mesma coisa que - 1 3 ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) que é a mesma coisa que 1 3 v → ?? Então bora substituir:

u → . v → v → . v → v → = - 1 3 v →

Substituindo os vetores e cortando o v → dos dois lados:

( a ,   b ,   c ) . ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) 1 ,   - 1 ,   - 1 . ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) = - 1 3

a - b - c 3 = - 1 3

Logo, na primeira condição temos que

a - b - c = - 1

Passo 2

Na segunda condição, queremos que u → ⊥ v → ∧ w → .

Vamo ver, se o u → é perpendicular ao produto vetorial de v → com w → , isso quer dizer que o produto misto desses 3 vetores dá 0 não é? Isso porque eles não formam um paralelepípedo hehe

u → ,   v → ,   w → = 0 = a b c 1 - 1 - 1 - 2 1 2 1 2

Resolvendo esse determinante por Sarrus:

3 b 2 - 3 c 2 = 0

Então a segunda condição nos dá que

3 b 2 = 3 c 2

b = c

Passo 3

Agora vamos pra terceira e última condição :D

Queremos que u → seja unitário, ou seja, seu módulo deve ser 1:

u → = a 2 + b 2 + c ² = 1

a 2 + b 2 + c 2 = 1 = 1

Passo 4

Beleza, dos passos anteriores temos 3 equações com 3 incógnitas. Vamos montar um sisteminha:

a - b - c = - 1 b = c a 2 + b 2 + c 2 = 1

Substituindo a segunda linha na primeira:

a - 2 c = - 1

a = 2 c - 1

Substituindo na terceira linha:

2 c - 1 2 + c 2 + c 2 = 1

4 c 2 - 4 c + 1 + 2 c 2 = 1

6 c 2 - 4 c = 0

2 c 3 c - 2 = 0

Isso nos dá c 1 = 0 ou c 2 = 2 3

Então os 2 vetores que satisfazem nossas condições são:

u → ' = 2.0 - 1 ,   0 ,   0 = ( - 1 ,   0 ,   0 )

u → ' ' = 2 . 2 3 - 1 , 2 3 , 2 3 = 1 3 , 2 3 , 2 3

Resposta

u → ' = ( - 1 ,   0 ,   0 )

u → ' ' = 1 3 , 2 3 , 2 3

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