USP – Álgebra Linear – P1 2021 – Questão 5
Considere fixada uma base ortonormal de em relação à qual são dadas coordenadas de vetores. Sejam
Seja o vetor que satisfaz as seguintes condições:
- tem norma
- é ortogonal a
-
- o ângulo entre e é agudo
Então, é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Cara, vamos lá que essa vai ser divertida e vamos resolver juntos :P
Antes de tudo, conheça esses 3 vetores:
Certo?
Aí a gente tem um outro vetor que é , e a gente sabe algumas informações sobre ele. Vamos analisar cada uma:
- tem norma
- é ortogonal a
-
- o ângulo entre e é agudo
E o nosso objetivo é encontrar a relação das coordenadas de , vamos lá!!!
Passo 2
Primeiramente, sabemos que o módulo de vale . Ou seja:
Belezinha, vamos guardar essa equação que ela vai ser útil logo menos hehehe
Passo 3
Também sabemos que o vetor é ortogonal ao vetor . Isso significa que o produto escalar entre eles deve ser :
Logo:
Ebaaa, já sabemos que as duas primeiras coordenadas são iguais
Passo 4
Agora vamos falar de projeção ortogonal, temos que . Ou seja, a projeção ortogonal de no vetor vale
Usando a fórmula de projeção ortogonal, então, temos que
Substituindo os vetores:
Então vamos multiplicar pelo vetor
Igualando as coordenadas, temos que
Bom, dividindo todas as equações por , as três equações estão falando a mesma coisa:
Como (lá do passo anterior), temos que
Então:
Opaaa! Já temos uma das coordenadas do vetor :P
Passo 5
Por fim, temos que o ângulo entre o vetor e o vetor é agudo, ou seja, o produto escalar entre eles deve ser positivo:
Como , temos
Ok, sabemos que deve ser menor que hahaha e consequentemente o também, porque eles são iguais
Agora vamos voltar lá na equação e usar tudo o que temos até agora
Passo 6
Sabemos que
Como e , temos
Então
Masss, do passo anterior, sabemos que , então só vamos pegar o negativo:
Portanto, as coordenadas do vetor são
E então:
A alternativa correta é a letra A 😊
Resposta
a) -6