Considere os vetores com norma , com norma e tais que . Se e
Determine as coordenadas de na base .
Passo 1
Ora ora, se não é um probleminha de projeção ortogonal hehe
Então vamos ver, o problema falou pra gente que o vetor vai ser a soma das projeções de em e de em e isso tudo somado com o vetor , que é o produto vetorial de com .
A fórmula de projeção é
Como a gente quer as coordenadas de na base , vamos escrever ele em função de , e .
Vamos ao que interessa então ok?
Passo 2
Vamos começar calculando a projeção de em
Agora é vez da projeção de em
Passo 3
Ok, a gente sabe que
Então
Legal! Agora temos escrito na base :
Resposta
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Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]
Seja W a reta de equações paramétricas x = 2 t , y = - t , z = 4 t Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b
Seja W o plano de equação 5 x - 3 y + z = 0 .Encontre uma base de W .Use a Fórmula 10 para encontrar a matriz canônica da projeção ortogonal em W .Use a matriz obtida na parte b para encontrar a proje
Em cada parte, encontre det A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]