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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

USP, 2019, PSUB, 12

Considere, em E 3 , o cubo de aresta unitária e vértices A ,B, C, D, E, F, G, H, conforme a figura

Se v → = p r o j H B → A E → , então ‖ v → ‖ é igual a

a ) 1 2

b )   1

c ) 1 3

d ) 1 2

e ) 1 5

Passo 1

Falaaa, blz?? Para começar essa questãozinha vamos notar um detalhe importante. Quando queremos projetar um vetor sobre outro, primeiro temos que colar a origem deles. Ou seja, temos que fazer a projeção olhando para os vetores da forma:

Aqui basicamente levamos o vetor A E → até o vértice H, para colar a origem de um no outro. Agora nosso objetivo é projetar esse vetor em H B → , vamos lembrar a fórmula para projeção?

p r o j u → v → = v → ∙ u → ‖ u → ‖ 2 u →

Passo 2

Veja que no nosso caso, queremos, colocando na fórmula:

v → = p r o j H B → A E → = A E → ∙ H B → ‖ H B → ‖ 2 H B →

O Módulo desses vetores é mais fácil de achar, tendo em vista que é um cubo de aresta 1. Como A E → está sobre uma aresta, temos que ‖ A E → ‖ = 1 e a diagonal principal de um cubo, de tamanho 1 é 3 , ou seja, ‖ H B → ‖ = 3 .

Agora, veja que o ângulo aparente na imagem do passo 1 é 45 º + 90 º = 135 º , pois A E → faz 90 º com a face superior e H B → faz 45 º . Ou seja, já conseguimos calcular A E → ∙ H B → ‖ H B → ‖ 2 , basta acharmos o nosso vetor H B → .

Para isso, vamos tomar os eixos da seguinte forma:

Veja que temos, nesse caso, B = 0,1 , 0 e H = ( - 1,0 , 1 )

Como H B → = B - H = 0,1 , 0 - - 1,0 , 1 = ( 1,1 , - 1 )

Passo 3

Agora, unindo tudo:

v → = A E → ∙ H B → ‖ H B → ‖ 2 H B → = 3 c o s c o s   135 º   3 1,1 , - 1 = - 3 3 2 2 1,1 , - 1 = 6 6 ( 1,1 , - 1 )

Logo:

v → = 6 6 , 6 6 , - 6 6

E por isso, temos que:

‖ v → ‖ = 3 6 6 2   = 6 6 3 = 18 6 = 3 2 6 = 2 2 = 1 2

E assim chegamos ao final de mais um problema, questãozinha interessante, pois faz a gente ter que pensar em alguns detalhes para nos facilitar na resolução, bora para a próxima?

Resposta

Letra A

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