A3 T12
Sabemos que é um vetor de e as projeções ortogonais de nos vetores e são respectivamente e . Considere as afirmativas:
- A projeção ortogonal do vetor no subespaço gerado por é
- Se não pertencer ao subespaço gerado por então formam uma base para o
A afirmativa é falsa e a é falsa
A afirmativa é verdadeira e a é verdadeira
A afirmativa é falsa e a é verdadeira
A afirmativa é verdadeira e a é falsa
Passo 1
Afirmativa :
Temos que:
Logo, faz sentido afirmarmos que tem a mesma direção de e tem a mesma direção de .
Logo,
Beleza, mas repare que não pode ser escrito como combinação linear de e !
Como possui um na segunda coordenada, para conseguirmos o na segunda coordenada de precisamos que , logo:
Como não existe que resolva esse sistema, não pertence ao subespaço gerado por e, portanto, nunca poderia ser a projeção ortogonal do vetor nesse subespaço.
Passo 2
Afirmativa :
Como vimos no último passo,
E como é um plano, também será um plano. Então sabemos que e são .
Se não pertencer ao subespaço gerado por então é um conjunto de vetores no . Então, por definição, é uma base do .
Resposta
Letra