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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2017.1, Questão 03

Seja P a matriz 3 × 3 que representa a projeção sobre o plano x - y + z = 0 ao longo da direção de ( 1 , - 1 , 1 ) (projeção ortogonal), e seja v → = 0,0 , 3 .   Calcule P v → :

(a) ( - 1,1 , 2 )

(b) ( 0,1 , 1 )

(c) ( 1,0 , 0 )

(d)   ( 1 , - 2,1 )

Passo 1

Vamos achar essa matriz:

x - y + z = 0

y = x + z

x , y , z = x , x + z , z = x 1,1 , 0 + z 0,1 , 1

Eu sei a imagem desses vetores e também do vetor perpendicular ao plano: 1 , - 1,1 .

P 1,1 , 0 = 1,1 , 0

P 0,1 , 1 = 0,1 , 1

P 1 , - 1,1 = 0,0 , 0

Repara que só posso achar minha transformaçãoo dessa forma porque   { 1,1 , 0 ,   0,1 , 1 ,   1 , - 1,1 } é uma base do domínio!

Passo 2

Um vetor qualquer do R 3 pode ser escrito assim:

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c 1 , - 1,1

E sua aplicação em P vai ser:

P x , y , z = a P 1,1 , 0 + b P 0,1 , 1 + c P 1 , - 1,1

P x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1

Vamos achar o valor de a   e b :

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,1 , 1 + c 1 , - 1,1

x , y , z = a + c , a + b - c , b + c

x = a + c y = a + b - c z = b + c

Achamos a = y - z + 2 x 3 e b = 2 z - x + y 3 .

Passo 3

Substituindo:

P x , y , z = y - z + 2 x 3 1,1 , 0 + 2 z - x + y 3 0,1 , 1

P ( x , y , z ) = y - z + 2 x 3 , z + x + 2 y 3 , 2 z - x + y 3

Substituindo 0,0 , 3 :

P 0,0 , 3 = 0 - 3 + 0 3 , 3 + 0 + 0 3 , 6 - 0 + 0 3 = ( - 1,1 , 2 )

Resposta

a

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