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Exercícios Resolvidos de Projeção Ortogonal

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Enunciado

Considera o espaço dos polinômios P 5 munido do produto interno p x ,   q x = ∫ - 1 1 p x q x d x . Seja W ⊂ P 5 o subespaço vetorial W = g e r [ x ,   x 3 ] .

a) Encontre uma base ortogonal para W .

b) Encontre o polinômio q ( x ) de W que está mais próximo de p x = x 5 .

Passo 1

a) Repara que o exercício já deu pra gente uma base de W , que é [ x ,   x 3 ] . Vamos verificar se essa base é ortogonal vendo se o produto interno entre seus elementos dá 0:

x ,   x ³ = ∫ - 1 1 x . x 3 d x

x ,   x ³ = ∫ - 1 1 x 4 d x

x ,   x ³ = 1 5 5 - - 1 5 5

x ,   x ³ = 2 5

Como o produto interno não deu 0, a base dada pelo exercício não é ortogonal.

O que a gente vai fazer é deixar ortogonal essa base que ele deu fazendo o processo de Gram-Schmidt.

Passo 2

Vamos montar uma nova base B = { u 1 ,   u 2 } tal que

u 1 = x

Já u 2 vai ser

u 2 = x 3 - x 3 ,   u 1 u 1 ,   u 1 u 1

u 2 = x 3 - x 3 ,   x x ,   x x

u 2 = x 3 - 2 5 2 3 x

u 2 = x 3 - 3 x 5

Boa!! Então já temos nossa base ortogonal para W . Ela vai ser B = x ,   x 3 - 3 x 5 .

Passo 3

b) Para encontrarmos o polinômio q ( x ) de W mais próximo de x 5 , vamos fazer a projeção de x 5 na base B do subespaço W . Vamos ter que

q x = P r o j x x 5 + P r o j x 3 -   3 x 5 x 5

q x = x 5 ,   x x ,   x x + x 5 ,   x 3 -   3 x 5 x 3 -   3 x 5 ,   x 3 -   3 x 5 x 3 -   3 x 5

Aplicando o produto interno dado pelo enunciado:

q x = ∫ - 1 1 x 6 d x ∫ - 1 1 x 2 d x x + ∫ - 1 1 x 8 - 3 x 6 5 d x ∫ - 1 1 x 3 -   3 x 5 2 d x x 3 -   3 x 5

Calculando as integrais:

q x = 2 7 2 3 x + 16 315 8 175 x 3 -   3 x 5

q x = 3 x 7 + 10 9 x 3 -   3 x 5

q x = 3 x 7 + 10 x 3 9 - 3 0 x 45

q x = 10 x 3 9 - 5 x 21

Logo, o polinômio q ( x ) de W mais próximo de x 5 é 10 x 3 9 - 5 x 21 .

Resposta

a) B = x ,   x 3 - 3 x 5

b) q x = 10 x 3 9 - 5 x 21

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