Seja o vetor o resultado da projeção ortogonal do vetor sobre o plano Então x vale:
(a) 12
(b) 13
(c) 14
(d) 15
Passo 1
Primeiro vamos lembrar que podemos decompor qualquer vetor de um dado espaço V em duas componentes: um vetor no próprio espaço V e outro vetor no complemento ortogonal de V:
Nessa questão, o espaço em que queremos projetar é o plano .
Sabemos que o complemento ortogonal do plano é uma reta, com direção dada pela direção do vetor normal do plano.
Podemos então calcular a projeção ortogonal do vetor dado na direção de (complemento ortogonal do plano), que vai ser o .
A gente pode fazer isso usando que:
Depois é só usar a relação que falei no início pra achar a projeção ortogonal do vetor no plano!
Passo 2
Quando temos a equação geral do plano, as coordenadas de um vetor normal ao plano são dadas pelos coeficientes que multiplicam o x, y e o z da equação.
Logo, o vetor normal ao plano dado é:
Como , substituindo na fórmula de projeção:
Passo 3
Como:
E a coordenada x desse vetor vale 12.
Resposta
(a) 12