Seja a transformação linear que é a projeção ortogonal sobre o plano de equação .

E seja a transformação afim que é a projeção ortogonal sobre o plano de equação

1. Mostre que a transformação é definida pela matriz
2. Determine a projeção ortogonal de no plano .
3. Determine o posto e a nulidade de do item (a).
4. Encontre três vetores e satisfazendo simultaneamente:

e são três autovetores distintos de P;

, e .

5. Determine a projeção ortogonal de no plano .
6. Determine a expressão para , ou seja, determine

Conseguir os vetores do plano.

Substituindo:

Então temos e como vetores LI no plano.

Conseguir o vetor ortogonal ao plano.

Para isso, basta montarmos um vetor com os coeficientes da equação do plano:

Precisamos agora achar a expressão para esta TL.

Para isso, escreveremos como combinação da base que acabamos de achar:

Aplicaremos a projeção dos 2 lados:

Sabemos que os vetores que estão no plano, não serão alterados e que o vetor normal será levado ao vetor nulo, logo:

Iremos agora calcular da equação e substituir em

Temos o sistema:

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando na primeira, obteremos rapidamente o valor de e por substituição os demais:

Agora substituindo em

Depois de todo este trabalho, agora só falta colocar esses coeficientes nas linhas da matriz:

b)

Este aqui é bem tranquilo, já temos a Matriz que transforma, para projetar esse vetor basta multiplicá-lo pela matriz:

c)

Como a Matriz do item a) representa uma projeção ortogonal em um plano, ela tem como imagem o plano, que possui dimensão 2. E como núcleo a reta ortogonal ao plano, que possui dimensão 1.

Logo:

d)

Nessa aqui demos sorte né?

Os 3 vetores que achamos inicialmente já se enquadram nas condições pedidas:

Pois são autovetores de autovalor 1, 1 e 0 ,respectivamente, e também:

Obs:O terceiro vetor é o ortogonal ao plano, então ele já seria normal aos outros, porém, caso não déssemos sorte com o primeiro e o segundo, e eles não fossem perpendiculares de cara, poderíamos aplicar o seguinte método de ortogonalização:

Ai os vetores seriam a resposta da questão.

e)

Bom, essa transformação projeta num plano muito parecido com o da transformação , pois eles têm o mesmo vetor normal, a única diferença é que ele está deslocado.Então basta projetarmos no plano por e deslocarmos depois.

Vamos então calcular esse deslocamento:Ele precisa tanto satisfazer a equação do plano, quando ter a direção normal, já que a projeção é ortogonal.

Teremos então:

Logo nosso vetor deslocamento será:

Concluindo então temos que:

f)

Generalizando o item anterior, ou seja, vamos usar no lugar de :