USP-SEM CAMPUS- Calculo 3 – prova 2 – 2022.1
Considere o seguinte campo de vetores:
E seja seu domínio de definição. Considere as seguintes afirmações:
- é conservativo e é simplesmente conexo.
- F não é conservativo e não é simplesmente conexo.
- F admite um potencial e
É correto afirmar que?
Passo 1
Opa amigão, aqui é o Rodolpho do Responde Aí e vim te ajudar a fazer essa questão, e aí vamos lá?
Todas as alternativas pressupõem que o campo é conservativo. Então o primeiro passo é calcular o Rotacional do campo, pois se ele for 0 podemos falar que o campo é conservativo.
Uma vez que ele for conservativo podemos encontrar uma função potencial e verificar a última alternativa.
E aí, podemos ir? Então vamos lá.
Passo 2
Vamos primeiramente calcular o Rotacional do campo, belezinha?
Para calcular precisamos do determinante dessa matriz aqui:
Como temos duas colunas nulas vamos utilizar a regra de Laplace, e iremos obter o seguinte vetor rotacional:
Logo, o campo é conservativo.
O campo é dois semiplanos onde temos os pontos dividindo-os, logo em cada semiplano podemos ligar quaisquer dois pontos por uma reta, sendo simplesmente conexo.
Passo 3
Como o campo é conservativo, temos que:
Logo, temos que:
Nós estamos derivando parcialmente. Logo é constante em relação . Tendo isso em mente e integrando a segunda expressão simples temos que:
Agora vamos derivar em relação a .
Logo, igualando a equação 1 temos que:
Gerando que:
Integrando a expressão temos que
E finalmente temos que nossa função potencial é:
Fazendo e . Logo, temos que:
Resposta
As alternativas corretas são a I e III.