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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Questão 2: Considere o campo

F → = y e x y sin ⁡ y z + 1 ,   x e x y sin ⁡ y z + z e x y cos ⁡ y z - y ,   y e x y cos ⁡ y z - z

  1. Mostre que F → é conservativo.
  2. Calcule ∫ γ   F → d r → onde γ t = cos ⁡ t ,   1 + sin ⁡ t , cos ⁡ 2 t e t ∈ 0 , 3 π 2 .

Passo 1

Ok! Aqui devemos lembrar-nos da teoria, beleza? Se ele é conservativo então ele satisfaz F = ∇ ω . Mas quem é esse ômega que apareceu aí? :\

Esse ômega é a função potencial, e pela teoria o gradiente dela deve ser igual ao campo F , beleza?

∂ ω ∂ x ,   ∂ ω ∂ y , ∂ ω ∂ z = y e x y sin ⁡ y z + 1 ,   x e x y sin ⁡ y z + z e x y cos ⁡ y z - y ,   y e x y cos ⁡ y z - z

Portanto a gente pode dizer que

I                 ∂ ω ∂ x = y e x y sin ⁡ y z + 1                                                              

I I                 ∂ ω ∂ y = x e x y sin ⁡ y z + z e x y cos ⁡ y z - y

I I I                 ∂ ω ∂ z = y e x y cos ⁡ y z - z                                                              

Passo 2

Então o que a gente deve fazer agora é pegar a primeira I integrar com relação a x

ω = ∫     y e x y sin ⁡ y z + 1 d x + g ( y ,   z )

Note que aparece um g ( y , z ) aí, pois se derivarmos em relação a x ela some, então integramos e ela volta. Mas não se preocupe, pois no próximo passo a determinamos !

Integrando em x (portanto y e z são constantes)

ω = y sin ⁡ y z e x y y + x   + g ( y ,   z )

ω = sin ⁡ y z e x y + x   + g ( y ,   z )

Passo 3

Como eu disse, vamos agora determinar g ( y ,   z ) , e como podemos fazer isso?

Derivando ω com relação à y e depois comparando com o que temos em I I ...

∂ ω ∂ y = ∂ sin ⁡ y z e x y + x   + g ( y ,   z ) ∂ y →

A derivada da soma é...

∂ ω ∂ y = ∂ sin ⁡ y z e x y ∂ y + ∂ x   ∂ y + ∂ g ( y ,   z ) ∂ y →

Nessa primeira derivada, cuidado com a regra do produto...

∂ ω ∂ y = ∂ sin ⁡ y z ∂ y e x y + ∂ e x y ∂ y sin ⁡ y z + ∂ g ( y ,   z ) ∂ y →

∂ ω ∂ y = z cos ⁡ y z e x y + e x y ⋅ x sin ⁡ y z + ∂ g ( y ,   z ) ∂ y

Comparando agora com o que temos em ( I I ) do passo 3...

z cos ⁡ y z e x y + e x y ⋅ x sin ⁡ y z + ∂ g ( y ,   z ) ∂ y = x e x y sin ⁡ y z + z e x y cos ⁡ y z - y

Cortando essas coisas iguais

∂ g ( y ,   z ) ∂ y = - y

Integrando dos dois lados em relação a y ... g y ,   z = ∫ - y   d y + h z

Note que agora apareceu h z , pois se derivarmos em relação a y , ela desaparece.

g y , z = - y 2 2 + h z

Então até o momento a função potencial é...

ω x ,   y ,   z = sin ⁡ y z e x y + x   + g y ,   z   →

ω x ,   y ,   z = sin ⁡ y z e x y + x - y 2 2 + h z

Passo 4

Para determinar esse h z , vamos fazer semelhante ao que fizemos no anterior, ou seja, derivar a função potencial em relação à z e igualarmos a terceira condição...

ω x ,   y ,   z = sin ⁡ y z e x y + x - y 2 2 + h z

∂ ω ∂ z = ∂ sin ⁡ y z e x y + x - y 2 2 + h z ∂ z

Derivando em relação a z ...

∂ ω ∂ z = cos ⁡ y z ⋅ y ⋅ e x y + ∂ h z ∂ z

Epa! derivada de uma só variável é...

∂ ω ∂ z = cos ⁡ y z ⋅ y ⋅ e x y + h ' z

Igualando a terceira...

I I I                 ∂ ω ∂ z = y e x y cos ⁡ y z - z                                                              

cos ⁡ y z ⋅ y ⋅ e x y + h ' z = y e x y cos ⁡ y z - z

h ' z = - z

onde integrando...

h z = ∫ - z d z + c

h z = - z 2 2 + c

Então a função potencial é:

ω x ,   y ,   z = sin ⁡ y z e x y + x - y 2 2 + h z

ω x ,   y ,   z = sin ⁡ y z e x y + x - y 2 2 - z 2 2 + c

Se o campo tem função potencial, então ele de fato é conservativo !

Passo 5

Pela teoria, se ω é uma função potencial para F → , então

∫ γ   F → d r → = ω B - ω ( A )

Onde B é o ponto final e A é o de inicio. No nosso caso esses pontos são obtidos nos limites da curva, portanto o ponto A , é quando t = 0

γ t = cos ⁡ t ,   1 + sin ⁡ t , cos ⁡ 2 t

A = γ 0 = cos ⁡ 0 ,   1 + sin ⁡ 0 , cos ⁡ 0 →

A = ( 1 ,   1 ,   1 )

Logo

ω x ,   y ,   z = sin ⁡ y z e x y + x - y 2 2 - z 2 2 + c →

ω A = sin ⁡ 1 e + 1 - 1 2 - 1 2 + c = sin ⁡ 1 e + c

E quanto ao B , é quando t = 3 π 2

B = γ 3 π 2 = cos ⁡ 3 π 2 ,   1 + sin ⁡ 3 π 2 , cos ⁡ 3 π →

B = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

ω B = sin ⁡ 0 e 0 + 0 + 0 - 1 2 + c = - 1 2 + c

Portanto a integral será...

∫ C   F d r → = ω B - ω A = - 1 2 + c - sin ⁡ 1 e + c =

- 1 2 - e sin ⁡ 1

Resposta

a )   ω x ,   y ,   z = sin ⁡ y z e x y + x - y 2 2 - z 2 2 + c  

b )     - 1 2 - e sin ⁡ 1                                                                                                          

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