Dada F(x, y) = (1 + y * e^(xy), 2y + x * e^(xy))

  1. Verificar que F → é um campo vetorial conservativo

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu esse campo vetorial

F → x , y = ( 1 + y e x y ,   2 y + x e x y )

E nesse primeiro item pediu para verificarmos que ele é conservativo

O que significa dizer que um campo é conservativo? Significa dizer que podemos escrever esse vetor em termos de uma função escalar, por meio do gradiente desse escalar:

F → = ∇ → f

Mas como vamos verificar isso? Bom, para isso você precisa lembrar da definição de gradiente:

F → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Ele é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função f

F é conservativo

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já sabemos que um campo vetorial conservativo pode ser escrito assim

F → = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Mas como descobrir se esse campo em específico

F → x , y = ( 1 + y e x y ,   2 y + x e x y )

É conservativo? Bom, se ele é conservativo deve satisfazer a seguinte igualdade:

1 + y e x y ,   2 y + x e x y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

E daqui temos duas equações

∂ f ∂ x = 1 + y e x y

∂ f ∂ y =   2 y + x e x y

Beleza? E lembrando lá das derivadas parciais, temos essa propriedade aqui:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

Isso significa que derivando cada parcial em relação a outra variável devemos encontrar o mesmo resultado! Então essa é nossa condição para que o nosso F → seja conservativo!

Beleza?

Passo 3

Agora vamos derivar cada uma em relação à outra variável. Começando por ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = 1 + y e x y

Precisamos derivar ela em relação à y:

∂ f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 1 + y e x y = e x y + x y e x y

Tranquilo até aqui? Vamos agora analisar a ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y =   2 y + x e x y

E derivar ela em relação a x:

∂ f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x   2 y + x e x y = e x y + x y e x y

O resultado foi o mesmo! Então o campo

F → x , y = ( 1 + y e x y ,   2 y + x e x y )

É sim conservativo!

E é isso! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o  

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