UFAM– Cálculo 2 – PF – Questão 3a
Dada
- Verificar que é um campo vetorial conservativo
Passo 1
Oi, tudo bem?
O problema nos deu esse campo vetorial
E nesse primeiro item pediu para verificarmos que ele é conservativo
O que significa dizer que um campo é conservativo? Significa dizer que podemos escrever esse vetor em termos de uma função escalar, por meio do gradiente desse escalar:
Mas como vamos verificar isso? Bom, para isso você precisa lembrar da definição de gradiente:
Ele é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Já sabemos que um campo vetorial conservativo pode ser escrito assim
Mas como descobrir se esse campo em específico
É conservativo? Bom, se ele é conservativo deve satisfazer a seguinte igualdade:
E daqui temos duas equações
Beleza? E lembrando lá das derivadas parciais, temos essa propriedade aqui:
Isso significa que derivando cada parcial em relação a outra variável devemos encontrar o mesmo resultado! Então essa é nossa condição para que o nosso seja conservativo!
Beleza?
Passo 3
Agora vamos derivar cada uma em relação à outra variável. Começando por :
Precisamos derivar ela em relação à y:
Tranquilo até aqui? Vamos agora analisar a :
E derivar ela em relação a x:
O resultado foi o mesmo! Então o campo
É sim conservativo!
E é isso! Espero ter ajudado!
Até próxima!