Calculo 3 – UFPE – 1° EE
Considere um campo vetorial definido por
Responda os seguintes itens.
- Defina campo vetorial conservativo.
- é um campo vetorial conservativo? Se sim, determine uma função potencial para .
- Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial sobre uma partícula que se desloca ao longo da espiral para .
Passo 1
Vamos começar resolvendo a letra a).
Esta letra é bem direta ao ponto. O que devemos aqui é descrever o teorema que define o que é um campo vetorial conservativo. Logo, não há muito a ser feito.
Portanto, um campo vetorial é conservativo quando existe uma função real tal que . Chamamos esta função de uma função potencial para .
E assim finalizamos a questão. Basta enunciar a definição destes campos e pronto.
Passo 2
Vamos agora verificar se é um campo conservativo. Para isto, precisamos descobrir se há uma função potencial que satisfaça o campo .
Portanto, procurar uma função tal que . Lembrando, significa o gradiente de uma função . Consequentemente, ele é um vetor de derivadas parciais. Portanto, esta relação consiste em:
Como estamos comparando vetores, comparamos a primeira coordenada de um com a primeira do outro, e assim por diante até a última coordenada. Com isto, vamos obter o seguinte sistema:
Agora, vamos pegar a relação de e integrá-la em relação a para obtermos a nossa função potencial. Portanto,
Resolvendo esta integral indefinida (basta fazer uma substituição com e ), obtemos:
Percebam que fizemos uma integral indefinida. Então, aparece uma constante. Só que neste caso não podemos esquecer que a constante é função de e .
Como assim a constante da integral não é uma constante e é uma função de e ? Bom, vejamos o que acontece. A nossa “constante”, é uma constante em relação a variável . Se derivarmos ela em relação a , obteremos 0.
E isto ocorre com uma função de e . Se derivarmos uma função que depende dessas 2 variáveis em relação a uma terceira, o resultado automaticamente é 0!
Portanto, ao integrarmos em , aparece uma constante que depende das duas outras variáveis.
Continuando, vamos derivar a em relação a e comparar com . Portanto,
Portanto, se integrarmos a , obtemos:
Aqui acontece o mesmo que a aconteceu com o surgimento de . Ao integrarmos , obtemos uma constante. Só que esta constante na verdade é uma função da variável .
A relação continua sendo verdade pois, ao derivarmos uma função que depende apenas de em relação a qualquer outra variável, o resultado é zero!
Continuando, consequentemente, . Bom, a nossa constante não depende de mais. É apenas função de . Mas quem será esta constante? Repetiremos o mesmo processo que fizemos com o , só que com . Portanto,
Integrando , obtemos:
Portanto, no final, era uma simples constante (que não depende de nenhuma outra variável). A nossa função potencial é . E como há uma função potencial para o nosso campo vetorial, dizemos que ele é um campo vetorial conservativo!
Passo 3
Bom, já sabemos que o campo é um campo conservativo. Vamos agora calcular o trabalho sobre de uma partícula por um campo conservativo. Sabemos pela definição que o trabalho de uma partícula é dado por:
Só que pelo Teorema Fundamental das Integrais de linha, o trabalho realizado pode ser escrito em função da função potencial. Isto é:
Lembrando, verificamos que existe uma tal que . Portanto, podemos mudar a função dentro da integral como fizemos. Continuando, colocando os limites de integração, temos:
Pelo próprio Teorema Fundamental, esta integral consiste em:
Isto é, é a diferença da função potencial nos pontos dado pela espiral nos pontos final e inicial.
Portanto, nosso trabalho é calcular esses dois pontos da curva e depois substituir na função . Vamos as contas então!
Já para o outro ponto da espiral, temos:
Portanto, o trabalho da partícula é:
Resposta
- Um campo vetorial é conservativo quando existe uma função real tal que . Chamamos esta função de uma função potencial para .
- O campo vetorial é conservativo e a função potencial é:
- O valor do trabalho da partícula é: