Dados a , b > 0 reais, seja γ o arco da elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 no primeiro quadrante do plano O x y , percorrido de a , 0 para 0 , b . Considere o campo de vetores F → : R 2 → R 2 dado por F → x , y = 2 x y e x 2 , e x 2 . O valor da integral

∫ γ F → ⋅ d r →

é:

Escolha uma:

a) 0

b) a b

c) a + b

d) b

e) a

Passo 1

Ele diz para gente para calcular uma integral de linha vetorial sobre a curva γ . Mas repara que o campo é feinho.

Nesses casos é bom começar calculando o rotacional desse campo, para ver se podemos usar outro caminho para calcular essa integral.

Nosso campo é

F = F 1 ,   F 2 = 2 x y e x 2 , e x 2

A fórmulinha do rotacional é

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Aí calculamos:

r o t   F → = ∂ e x 2 ∂ x - ∂ 2 x y e x 2 ∂ y

r o t   F → = 2 x e x 2 - 2 x e x 2

r o t   F → = 0

Ih olha só! Deu zero. Isso quer dizer que nosso campo pode ser conservativo.

Como vemos que as funções que o compõem são contínuas e suas derivadas parciais também, para todos os x , y , a gente pode afirmar mesmo que ele é conservativo!

Isso vai facilitar muito nossa vida. Vem ver!

Passo 2

Vamos começar listando as características de um campo F conservativo, se tiver uma delas, é conservativo! São 4:

  1. O campo tem uma função f , tal qual F → = ∇ f . Ou seja, ele tem função potencial.
  2. r o t   F → = 0 , e F → e suas derivadas estão bem definidas em um domínio sem “buracos”.
  3. A integral de linha vetorial sobre qualquer curva fechada é nula:
  4. ∮ C F → ⋅ d r = 0

  5. As integrais de linha vetoriais nele não dependem do caminho e valem:

∫ P 1 P 2 F → ⋅ d r = f P 2 - f P 1

Lembrando que esse f é a função potencial do campo.

No que isso ajuda a gente? Cara, a gente percebeu que nosso campo é conservativo por causa da característica 2 .

Mas repara na 4: ela diz como calcular uma integral de linha vetorial, só usando os pontos que P 1 e P 2 (ínicio e final da nossa curva) e a função potencial do campo.

E a gente quer calcular

∫ γ F → ⋅ d r →

Que é uma integral de linha. E temos o ponto inicial e final da curva   γ :

P 1 = a , 0 ,     P 2 =   0 , b

Só falta a função potencial f para conseguirmos calcular essa integral aí, né? Vamos a achar então!

Passo 3

Cara, como a gente faz isso? Primeiro, a gente lembra que se o campo é conservativo, temos que o campo é igual ao vetor gradiente da função potencial:

∇ f = f x , f y = F →

Nosso campo é

F → = 2 x y e x 2 , e x 2

f x , f y = 2 x y e x 2 , e x 2

Daí a gente tira que

f x = 2 x y e x 2

Se a gente integrar isso em relação a x :

f = ∫ 2 x y e x 2 d x = y ∫ 2 x e x 2 d x

Aí essa integral a gente resolve fazendo uma substituição simples

u = x 2 → d u d x = 2 x ∴ d u = 2 x   d x

f = ∫ 2 x y e x 2 d x = y ∫ e u d u = y e u = y e x 2 + A y

E quem é aquele termo A y ali? É porque se a gente derivar f em relação a x e tiver uma função de y somando do lado, ela zera né? Então quando a gente faz o caminho inverso, precisamos supor que ela poderia estar ali na nossa função.

Obs: aqui você não precisa se preocupar em colocar a constante C da integral indefinida, tá?

Passo 4

Do gradiente tiramos também que

f y = e x 2

Se a gente integrar isso em relação a y :

f = ∫ e x 2 d y = e x 2 ∫ 1 d y = y e x 2 + B x

Repara que apareceu um termo B x ali, porque agora a gente está fazendo o caminho inverso da derivada em relação a y .

Passo 5

Agora é comparar essas expressões de f , para achar A y e B x , e assim a expressão final da nossa função:

f = y e x 2 + A y

f = y e x 2 + B x

Repara que na primeira, a gente tem aquele termo A y , mas na segunda, não há nenhum termo em soma só com uma função de y . Daí tiramos que

A y = 0

Na segunda a gente tem B x , mas na primeira não tem nenhum termo só de x , então

B x = 0

Aí nossa função potencial é:

f x , y = y e x 2

Passo 6

Agora temos tudo para calcular a integral de linha vetorial:

∫ P 1 P 2 F → ⋅ d r = f P 2 - f P 1

Substituindo nossos dados:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ( 0 , b ) a , 0 F → ⋅ d r → = f 0 , b - f a , 0

Como

f x , y = y e x 2

f a , 0 = 0 ⋅ e a 2 = 0

f 0 , b = b e 0 2 = b

Temos que

∫ γ F → ⋅ d r → = b - 0 = b

Resposta

Letra d

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