Sejam e funções de classe arbitrárias, definidas em , e , uma curva de classe por partes, simples e fechada arbitrária. Considere as seguintes afirmações:
(I)
(II)
(III)
Assinale a alternativa verdadeira:
Escolha uma:
a) apenas a afirmação II é correta
b) todas as afirmações são verdadeiras
c) todas as afirmações são falsas
d) apenas a afirmação III é correta
e) apenas a afirmação I é correta
Passo 1
Vamos entender o que essa questão está querendo nos dizer. Temos uma curva fechada, bem definida.
E, pelas afirmações, temos campos com funções e bem definidas em todo o espaço .
Mas não para por aí. Ele quer saber quais das integrais de linha vetorial sobre essa curva vão zerar.
Cara, se a gente tem uma curva fechada, num campo bem definido, a integral de linha só zera se o rotacional zerar, porque aí temos um campo conservativo, beleza?
Então o que a gente precisa ver é se em quais integrais dessas teremos . Bora!
Passo 2
(I) Nosso campo aqui é
O rotacional fica:
A gente não pode afirmar que ele zera, então essa é falsa.
Passo 3
(II) Nosso campo aqui é
O rotacional fica:
Como a gente derivou uma função de em relação a , a derivada zera. E uma situação análoga aparece na outra derivada, então esse rotacional zera sim.
Então é verdadeira.
Passo 4
(III) Nosso campo aqui é
O rotacional fica:
A gente não pode afirmar que ele zera, então essa é falsa.
Resposta
Letra a