Provas – Calculo 3 – P2 – questão 10
Considere o seguinte campo de vetores e seja o seu domínio de definição. Considere as seguintes afirmações:
- é conservativo e seu domínio é simplesmente conexo
- não é conservativo e seu domínio não é simplesmente conexo
- admite um potencial e
Passo 1
Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?
O problema nos dá um campo de vetores e quer saber da gente sobre algumas coisas desse campo de vetores. Quais por exemplo? Desse campo de vetores podemos ver se é conservativo. Porque é útil saber se um campo de vetores é conservativo? Porque um campo de forças conservativo uma vez que percorre um caminho, nesse caminho ele tem uma energia, e, portanto, essa energia é conservativa. Saca das energias conservativas? A energia elétrica por exemplo é conservativa, a energia térmica também.
O bacana delas serem conservativas é que a energia elétrica pode se transformar em energia térmica, ou vice-versa, como quando o seu chuveiro pela eletricidade esquenta a água. Legal, né? Então saber se um campo de vetores é conservativo é muito importante.
Isso é muito belo e tudo e tals, mas como podemos calcular isso? Bom, se um campo de forças é conservativo, então ele não sofre perdas dissipativas e é sempre constante, logo o seu rotacional é nulo. Assim, seja conservativo, então:
E uma vez que a função é conservativa ela admite uma função potencial. Mas como? Bom, temos uma sacada que nos leva que a função potencial é o divergente do campo , logo:
Aplicando o rotacional de ambos os lados:
Mas sabemos que o rotacional do divergente de uma função é nulo, logo:
E pronto! Já temos todo o material necessário para respondermos a nossa questão, vamos lá?
Bora pro próximo passo?!
Passo 2
Obrigado por vir.
Agora vamos ver se é conservativo, logo:
Aplicando a regra de Sarrus, temos que:
Logo vemos que , logo é um campo forças conservativas!
Aqui já concluímos que a afirmativa I é verdade. MAS CALMA, E O DOMINIO SIMPLESMENTE CONEXO, ESQUECEU? Calma, meu jovem! Lembra do lance da energia ser conservativa? Então, se ela conservativa ela se conserva no caminho, logo o caminho da ida e o caminho da volta somam 0, assim:
Onde é o trabalho da energia conservativa. Logo se provamos que ela é conservativa também provamos que ela possui um domínio simplesmente conexo, ou seja, não há buracos no domínio.
Sendo a afirmativa I verdade, concluímos que a II é falsa.
Agora nos resta ver se a afirmativa III é falsa ou verdadeira.
Passo 3
Como já dito, sendo conservativo, admite uma função potencial:
Podemos integrar de ambos os lados e obter:
Assim:
Substituindo, temos:
Podemos separar em duas integrais, uma da parte e outra da parte .
Vamos resolver essas integrais?!
Passo 4
Para a primeira com :
Sabendo que a soma das integrais é a integral da soma, podemos fazer:
Integrando a primeira, temos:
Para a outra integral, façamos uma substituição:
Logo:
Assim a nossa integral fica:
Integrando em , temos:
Mas sabemos que como mudamos antes, certo? Portanto:
Agora vamos para integral com ?
Temos:
Façamos uma substituição:
Logo
Assim a nossa integral fica:
Integrando em , temos:
Mas sabemos que , certo? Então:
Obtemos o valor das duas integrais, o que fazemos agora?
Passo 5
Então temos que:
Como é a função potencial geral ? É os termos comuns de com os termos adicionais. AAN? Por exemplo, vemos que se repete, logo não podemos pegá-lo duas vezes, e por exemplo o está sozinho, e devemos pegá-lo. Quanto às constantes , elas no momento não nos são uteis porque vamos definir intervalos definidos, onde ela some. Assim:
E agora sim nos pedem para verificar em . Assim:
Sabemos que , vemos então que
E temos o resultado afirmativo do item III, concluindo assim que é verdadeiro.
Concluímos então que somente as alternativas I e III são verdadeiras.
UUUUFAAA, acabamos! Obrigado por ter vindo até aqui comigo.
Resposta
Somente as alternativas I e III são verdadeiras.