Mostre que os valores da integral
Não depende do caminho tomado de A a B.
Passo 1
Como vimos na teoria, a independência do caminho é uma propriedade dos campos conservativos, pois para campos conservativos, com função potencial :
Ou seja, o valor da integral só depende dos pontos final e inicial da curva, como foi pedido na questão.
Então só precisamos verificar se o campo é mesmo conservativo!
Passo 2
Temos o campo:
Vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:
E como o campo está definido para todo o , nós vimos que essa condição é o suficiente para sabermos que o campo é conservativo.
Pronto! conservativo implica que a integral de linha não depende do caminho.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
Um escoamento é representado pelo campo de velocidade v → = y 2 + z 2 i → + x z j → + 2 x 2 y 2 k → Verificar se o escoamento é:b) irrotacional.
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?f) f → x , y , = x 2 + y , y 2 - x , em R 2
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?g) f → x , y , z = - sen x + cos x , z , y em R 3
Usando o teorema 6.9 . 3 , o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?h) f → x , y , = sen x , cos y , em R 2