Campos conservativos
Calcule o trabalho realizado pela força para deslocar uma partícula do ponto até o ponto ao longo da curva definida por , onde
Passo 1
Como essa integral não parece muito simples de se calcular pela definição, vamos calcular o valor de para ver se conseguimos simplificar o problema. Temos:
Como o campo está definido em todo o domínio, sabemos que esse campo é conservativo.
Calcular a função potencial desse campo não parece algo muito simples, então, vamos optar por outro caminho. Escolheremos uma curva que liga os pontos inicial e final da curva do problema. Uma vez que a integral independe do caminho, temos:
Passo 2
Aqui temos um detalhe importante. Se escolhermos a reta , que liga diretamente o ponto inicial ao final, a solução está correta, porém, encontraremos contas complicadas. Veja que quando escolhemos retas paralelas aos eixos coordenados e , nós temos uma coordenada da derivada da parametrização igual a zero, o que simplifica muito a integral.
Por isso, vamos escolher dois segmentos para ligar esses pontos: um horizontal que vai de até seguido de outro vertical que vai de até . Você vai ver que isso evitará muitas contas! Temos, então:
Segmento horizontal: Temos os pontos extremos: e . Esse segmento está contido na reta (onde varia), como podemos ver pelos pontos dados, então, vamos parametrizá-lo com . Com .
Derivando essa expressão, temos: .
Segmento vertical: Temos os pontos extremos: e . Esse segmento está contido na reta (onde varia), como podemos ver pelos pontos dados, então, vamos parametrizá-lo com . Com .
Derivando essa expressão, temos: .
Passo 3
Aplicando tais valores na definição de integrais de linha, temos:
Temos, então,
Passo 4
Vamos, agora, calcular essas integrais: