Diga se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa. Justifique.

Existe um campo escalar f : R 3 → R de classe C ∞ tal que, para todo x , y , z ∈ R 3 se tem que

∇ f x , y , z = 2 z , z 2 + 2 y , 2 x + y z

Passo 1

Vamos falar que esse campo de função que ele deu é F

F x , y , z = 2 z , z 2 + 2 y , 2 x + y z

Ele quer uma função f onde o gradiente seja esse campo de vetores que ele deu, mas isso é dizer que

∇ f = F

Isso vai acontecer quando esse campo vetorial for um campo conservativo, isso acontece quando o rotacional for 0 , vamos achar o rotacional de F

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 z z 2 + 2 y 2 x + y z

r o t F → = z i + 2 j + 0 k - 0 k - 2 j - 2 z i

r o t F → = - z i

Esse rotacional não deu 0 , então não é um campo conservativo e não existe a função f .

Logo a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa

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