Encontre o trabalho realizado por F = (x^2 + y) i + (y^2 + x) j + z e^z k sobre os caminhos de (1,0,0) a (1,0, 1) a seguir.

  1. O segmento de reta x = 1 , y = 0 , 0 ≤ z ≤ 1
  2. A hélice r(t) = cos(t) * i + sen(t) * j + (t / (2 * pi)) * k , 0 ≤ t ≤ 2π
  3. O eixo x de (1,0,0) a (0,0) seguido pela parábola z = x^2 , y = 0 de (0,0) a (1,0, 1) .

Passo 1

Antes de tudo, como ele pede muitas integrais, mas com pontos inicial e final iguais, vale a pena conferir se essas integrais realmente dependem do caminho percorrido ou não, porque se não dependerem, vamos nos dar muito bem, só vamos precisar calcular uma delas, né?

A gente viu na teoria que para a integral não depender do caminho, o campo deve ser conservativo e uma condição suficiente pra isso é que o campo seja irrotacional e definido para o domínio. Então vamos conferir isso?

Passo 2

Já começamos com uma boa noticia porque o campo é definido para todo o R 3 , então não teremos problemas quanto a isso.

Só falta conferir o rotacional do campo:

F → = F 1 , F 2 , F 3 = x 2 + y , y 2 + x , z e z

Agora, vamos lembrar que campos conservativos devem ser irrotacionais, então vamos testar essa condição:

r o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3

= ∂ z e z ∂ y - ∂ y 2 + x ∂ z i → - ∂ z e z ∂ x - ∂ x 2 + y ∂ z j → + ∂ y 2 + x ∂ x - ∂ x 2 + y ∂ y k →

= 0 - 0 i → - 0 - 0 j → + 1 - 1 k → = 0 →

E então garantimos que o campo é conservativo, que ótimo!

Agora é só calcular a integral mais simples e reproduzir o resultado pra todos os itens. Vamos ver como que fica!

Passo 3

a)

O caminho do item a ) parece o mais simples possível, já que é uma reta e tem duas coordenadas constantes, o que deixa o vetor tangente super tranquilo, vamos ver:

C : σ → = 1,0 , t ,   0 ≤ t ≤ 1

E o vetor tangente:

σ → ' = d 1 d t , d 0 d t , d t d t = 0,0 , 1

Muito simpático, vamos só jogar na integral:

∫ C F → ∙ d r = ∫ 0 1 1 + 0 ,   0 + 1 ,   t e t ∙ 0 ,   0 ,   1   d t = ∫ 0 1 t e t   d t

Que não é uma integral trivial, mas da pra fazer por partes, né?

u = t → u ' = 1

v ' = e t → v = e t

∫ 0 1 t e t d t = t e t │ 0 1 - ∫ 0 1 1 e t d t

= 1 e 1 - e t │ 0 1 = e 1 - e 1 - e 0 = 1

Passo 4

b)

Como dissemos, como o campo é conservativo, então a integral não depende do caminho e, para qualquer curva γ , vamos usar o resultado do item a ) :

∫ γ F → ∙ d r = ∫ C F → ∙ d r = 1

Passo 5

c)

Mais uma vez, vamos ter a independencia do caminho a nosso favor e, usando o resultado do item a ) :

∫ γ F → ∙ d r = ∫ C F → ∙ d r = 1

Resposta

  1. 1
  2. 1
  3. 1

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