Calcule a integral de linha
Onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto
Passo 1
Que integral de linha chata essa né? Esse campo mt doido com , logaritmo e outras informações que eu acharia muito difícil integrar direto!
Vamos encontrar outro jeito de calcular isso aí. Já que a nossa curva é aberta, vamos ver se podemos encontrar uma função potencial aqui.
Vamos checar se o campo é conservativo, pra isso tem que ser igual a zero
Sabemos que
Derivando isso
Vamos encontrar a função potencial aqui e resolver essa questão! Lembra da definição né?
Portanto
Passo 2
Vamos às contas! Começando por
Aqui entra um macetezinho, a integral de não da pra calcular direto, mas a integral de é conhecida!
Se a gente deriva isso aí realmente da pela derivada do produto! Olha só
Continuando aqui
Passo 3
Integrando agora
E agora, como integra , também é meio chato, tem que usar um artifício aqui
Só aumentou a parada né? Confia que vai dar certo!
Fazendo uma mudança aqui
Ou seja
Voltando lá pra , fica assim
Passo 4
Beleza, comparando os dois valores de que achamos
Ve se essa função aqui não serve pras duas:
Bem grandinha né? Mas é isso mesmo!
Passo 5
Agora que temos a função potencial, só usar o teorema
Vamos calcular isso aí separado pra facilitar
Em
Em
Passo 6
Juntando os dois resultados