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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

UNICAMP. Calculo 2. 2021.2 - 5ª Tarde. Prova: P3. Questão 1.

Considere o campo vetorial em R 3 dado por

F x , y , z = y 2 i + 2 x y + e 3 z j + 3 y e 3 z k .

(a) Verifique se F é um campo conservativo.

(b) Se F é conservativo, determine f tal que F = ∇ f .

(c) Calcule a integral de linha ∫ C F · d r onde C é a curva dada por

r t = t t - π 2 + c o s 3 t i + s e n 7 t j + ln ⁡ t t - π 2 2 + 1 k ,     0 ≤ t ≤ π 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos um campo vetorial F e foi pedido para que calculemos algumas coisas com base nesse campo.

Primeiro temos que descobrir de F é conservativo.

Se for, temos que calcular f de modo que F = ∇ f .

Por último, temos que calcular a integral de linha ∫ C F · d r dado que C é parametrizado como

r t = t t - π 2 + c o s 3 t i + s e n 7 t j + ln ⁡ t t - π 2 2 + 1 k ,     0 ≤ t ≤ π 2 .

Ta certo, mas como vamos calcular tudo isso?? 🤔🤔

Para um campo vetorial F ser conservativo, podemos verificar se seu rotacional é igual a 0 , se for, F é conservativo.

Para obter f , integramos cada componente i j k de F e comparamos os três resultados para obter f .

E por último, para calcular a integral de linha ∫ C F · d r caso F seja conservativo, vamos aplicar uma propriedade que diz que para um campo conservativo, o caminho da linha não importa, o que importa é o ponto inicial e o ponto final, ou seja

∫ C F · d r = f A - f B

Entendeu? Bora ver como faz que temos muitas coisas pra fazer! 👀

Passo 2

Como dizemos no passo anterior, para F ser conservativo, R o t F deve ser 0 , ou seja

R o t F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

R o t F = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i + ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x j + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k

Mas o que são F 1 , F 2 e F 3 ?

F é formado por eles! No caso F = F 1 i + F 2 j + F 3 k , ou seja

F 1 = y 2 F 2 = 2 x y + e 3 z F 3 = 3 y e 3 z

Montando o R o t F com F 1 , F 2 e F 3 substituídos

R o t F = ∂ 3 y e 3 z ∂ y - ∂ 2 x y + e 3 z ∂ z i + ∂ y 2 ∂ z - ∂ 3 y e 3 z ∂ x j + ∂ 2 x y + e 3 z ∂ x - ∂ y 2 ∂ y k

Vamos calcular as derivadas uma a uma. Primeiro a derivada de 3 y e 3 z com relação a y .

Como z será considerada uma constante, temos

∂ 3 y e 3 z ∂ y = 3 y 1 - 1 e 3 z = 3 e 3 z

Derivando 2 x y + e 3 z com relação a z , aplicamos a regra da cadeia em e 3 z e para 2 x y , a derivada será 0 já que não tem z para derivar.

∂ 2 x y + e 3 z ∂ z = ∂ 3 z ∂ z · ∂ e u ∂ u = 3 e u = 3 e 3 z

Para a derivada de y 2 com relação a z e 3 y e 3 z com relação a x , os resultados serão os mesmos, já que não temos a variável de derivação nas funções de derivação. Logo

∂ y 2 ∂ z = ∂ 3 y e 3 z ∂ x = 0

Para a derivada de 2 x y + e 3 z com relação a x , temos

∂ 2 x y + e 3 z ∂ x = 2 x 1 - 1 y + 0 = 2 y

Por último, a derivada de y 2 com relação a y é dada por

∂ y 2 ∂ y = 2 y 2 - 1 = 2 y

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo os resultados em R o t F , temos

R o t F = 3 e 3 z - 3 e 3 z i + 0 - 0 j + 2 y - 2 y k

Logo, vemos que

R o t F = 0 i + 0 j + 0 k

O rotacional de F é 0 , portanto, F é conservativo!

Agora temos que calcular f tal que F = ∇ f .

Se o gradiente de f é igual a F , se integrarmos F 1 , F 2 e F 3 , vamos obter algo que poderá nos ajudar. Veja só!

∇ f = y 2 i + 2 x y + e 3 z j + 3 y e 3 z k

f = ∫ y 2 d x   ∁ ∫ 2 x y + e 3 z d y   ∁ ∫ 3 y e 3 z d z

Integrando y 2 com relação a x , temos

∫ y 2 d x = x y 2 + C

Integrando 2 x y + e 3 z com relação a y

∫ 2 x y + e 3 z d y = 2 x y 1 + 1 1 + 1 + y e 3 z = x y 2 + y e 3 z + C

Por último, integrando 3 y e 3 z com relação a z

∫ 3 y e 3 z d z = 3 y ∫ e 3 z d z

Fazendo 3 z = u , d u será d u = 3 d z , logo d z = d u / 3 . Aplicando o método de substituição u d u

3 y ∫ e 3 z d z = 3 y ∫ e u 3 d u = 3 y e u 3

Substituindo u por 3 z de volta

∫ 3 y e 3 z d z = y e 3 z + C

Como f é o complemento das derivadas, ou seja, x y 2 foi obtido na integral de y 2 e na integral de 2 x y + e 3 z , portanto só consideramos uma vez, por quando ele apareceu novamente, ele já estava incluso em f .

Logo podemos definir f como

f x , y , z =   x y 2 + y e 3 z + C

Interessante, não é? 😁

Passo 4

Agora temos que calcular a integral de linha ∫ C F · d r

como o campo F é conservativo, o caminho da integral de linha não importa, portanto podemos dizer que

∫ C F · d r = f A - f B

Mas o que é A e B ?

A é o ponto final de r t e B é o ponto inicial de r t

Foi dito que t varia entre 0 e π 2 .

Se r t é dado por

r t = t t - π 2 + c o s 3 t i + s e n 7 t j + ln ⁡ t t - π 2 2 + 1 k

Para t = 0 , vamos obter A , como

A = r 0 = 0 0 - π 2 + c o s 3 0 i + s e n 7 0 j + ln ⁡ 0 0 - π 2 2 + 1 k

A = r 0 = 0 + c o s 3 0 i + s e n 7 0 j + ln ⁡ 0 + 1 k

Simplificando o resultado, temos

A = 1 i + 0 j + 0 k

A = 1,0 , 0

Agora para t = π 2 , vamos obter B

B = r π 2 = π 2 π 2 - π 2 + c o s 3 π 2 i + s e n 7 π 2 j + ln ⁡ π 2 π 2 - π 2 2 + 1 k

B = r π 2 = π 2 0 + c o s 3 π 2 i + s e n 7 π 2 j + ln ⁡ π 2 0 2 + 1 k

Dessa forma, podemos escrever B como

B = 0 i + 1 j + 0 k

B = 0,1 , 0

Está acompanhando? 👀

Passo 5

Por fim, substituímos A e B na integral de linha que definimos anteriormente, ou seja

∫ C F · d r = f A - f B

∫ C F · d r = f 1,0 , 0 - f 0,1 , 0

Lembrando que f x , y , z =   x y 2 + y e 3 z + C

Portanto a integral de linha de F é dada por

∫ C F · d r = 1 0 2 + 0 e 3 0 + C - 0 1 2 + 1 e 3 0 + C

Simplificando o resultado, temos

∫ C F · d r = + C - 1 + C

∫ C F · d r = - 1

Fala a verdade, é impressionante, não é?

Com isso, obtemos a integral de linha de F como sendo - 1 !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

a) F é conservativo.

b) f x , y , z =   x y 2 + y e 3 z + C

c) ∫ C F · d r = - 1

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