Seja uma curva parametrizada por , com
Calcule a integral de linha
Passo 1
Bem, essa integral parece impossível de se calcular pela definição, porque além do campo não ser nada trivial, a curva foi uma das mais malucas que eu já vi... Então vamos rezar pra esse campo ser conservativo, senão ferrou...
Vamos começar testando o rotacional do campo, que em duas dimensões simplesmente temos que ver se:
Nesse caso, temos:
Além disso, o campo está definido em todo o ! Então, o campo é realmente conservativo, o que significa que não precisamos calcular essa integral pela definição, pelo menos isso... haha Mas vamos tentar encontrar uma função potencial, então.
Passo 2
Lembrando que nossa função tem que ser tal que:
Então, primeiro vemos que:
E também:
Se igualarmos os dois, temos que:
Então encontramos nossa função potencial:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos inicial e final da curva. Como temos , então:
E agora já podemos calcular nossa integral!
Passo 4
Sabemos que pela função potencial:
Pronto, bem mais tranquilo que calcular aquela integral maluca lá, né?