Considere a curva parametrizada por , . Calcule , onde .
Passo 1
A gente podia tentar usar a definição nesse exercício, mas como temos seno na parametrização, ao colocar a parametrização dentro da função teríamos seno do seno e não sabemos integrar esse tipo de coisa. Vamos tentar usar campos conservativos então. Para isso precisamos achar de modo que
Passo 2
Seguindo o nosso passo a passo, temos que
Passo 3
Agora comparamos as duas equações para e chegamos à conclusão que:
Passo 4
Juntando tudo isso, fomos capazes de obter uma função potencial para
Por isso, o campo é conservativo! Como temos a liberdade de escolher o vamos fazer ele igual a zero ;)
Passo 5
Finalmente, podemos calcular a integral pedida. Temos que:
Resposta
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6. Mostre que as integrais ∮ C F 1 x , y d x + F 2 x , y d y São nulas, quais quer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio F 1,F 2 , onde F 1 x , y = sen x + 4 x y F 2 x , y = 2 x 2 -
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