PUC-RIO – Cálculo 3 – 2020.2 – G1 (Parte 2) – Discursiva
Considere
e considere o campo vetorial
O campo F é conservativo? Em caso positivo encontre o potencial.
Passo 1
A primeira coisa que precisamos lembrar é que um campo é conservativo quando:
Assim podemos responder a pergunta principal do enunciado e a partir daí fazer ou não a segunda parte do que o exercício pede.
Mas agora vem o pulo de gato maroto que vai facilitar muito a nossa vida.
Não vamos começar descobrindo quem é ou pois se você tentar com certeza vai quebrar a cabeça porque vai ficar bem chatinha, e vai ficar mais chata ainda se tentar fazer o rotacional disso então vamos fazer primeiro o rotacional, belezinha?
Vamos fazer tudinho, vem comigo!
Passo 2
Fazendo o rotacional teremos:
Nosso campo é conservativo e não precisamos fazer várias derivadas parciais chatas para chegar nisso.
Passo 3
Agora nos resta descobrir o potencial, então vamos olhar novamente para :
Sendo assim:
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :
Igualando e podemos ver que:
Ou seja:
E essa é nossa função potencial.
Resposta
É conservativo!