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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Teorema de Stokes

Determine se o campo vetorial

F x , y , z = y 2 + 2 x z 2 i + 2 x y + z j + 2 x 2 z + y + 2 z k

É conservativo. Calcule a integral de linha ∫ C   F . d r em que C é a curva dada por

r t = t   i + t + 1 j + t 2   k   ,         0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Vamos começar calculando o rotacional desse campo:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 1 - 1 ,   4 x z - 4 x z ,   2 y - 2 y = ( 0,0 , 0 )

Pronto, provamos que o campo é conservativo.

Passo 2

Bom, como o campo é conservativo, podemos calcular a integral de linha que o problema pede usando sua função potencial, não é?

O problema nos pede a integral de linha

∫ r   y 2 + 2 x z 2 d x + 2 x y + z d y + 2 x 2 z + y + 2 z d z

E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:

∫ r   F . d r = f B - f ( A )

Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva γ é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.

Vamos calcular f então, temos:

F → = ∇ f

Onde ∇ é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Temos então o seguinte:

y 2 + 2 x z 2 , 2 x y + z , 2 x 2 z + y + 2 z = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y ,   ∂ f ∂ z

Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.

∂ f ∂ x = y 2 + 2 x z 2 → f x , y , z = x y 2 + x 2 z 2 + M ( y , z )

∂ f ∂ y = 2 x y + z   → f x , y , z = x y 2 + y z + P ( x , z )

∂ f ∂ z = 2 x 2 z + y + 2 z   → f x , y , z = x 2 z 2 + y z + z 2 + Q ( x , y )

Comparando as equações, vemos que:

M y , z = y z + z 2

P x , z = x 2 z 2 + z 2

Q x , y = x y 2

f x , y , z = x y 2 + x 2 z 2 + y z + z 2 + k

Ou seja:

M y , z = y z + z 2

P x , z = x 2 z 2 + z 2

Q x , y = x y 2

Passo 3

Como o problema define a curva assim:

r t = t   i + t + 1 j + t 2   k   ,         0 ≤ t ≤ 1

O ponto A corresponde a t = 0 , que nos dá

A = ( 0 ,   1 ,   0 )

Para B , temos t = 1 :

1,2 , 1

Passo 4

Agora é só calcular f ( A ) e f ( B ) :

f x , y , z = x y 2 + x 2 z 2 + y z + z 2 + k

f 0,1 , 0 = 0 + k

f 1,2 , 1 = 4 + 1 + 2 + 1 + k = 8 + k

Logo,

∫ r   F . d r = f B - f ( A )

∫ r   F . d r = 8 + k - k = 8

Resposta

8

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