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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Cálculo 3 - Profª Lúcia - Lista de Integral de Linha - 2023.1, Questão 11

11. Calcule ∫ γ x d x + y d y + z d z , onde γ é o seguimento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 . Percorrido no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos uma função vetorial F x , y , z = x , y , z e nosso objetivo é calcular a integral ∫ γ F d r onde γ é o seguimento entre 1,2 , 1 e 0,0 , 0 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Olhando para a função F podemos ver uma característica bem interessante... a primeira componente só depende de x , a segunda só de y e a terceira só de z . Dessa forma podemos imaginar que F é uma função conservativa.

Para comprovar essa teoria podemos calcular o rotacional de F e verificando se é igual a 0 .

Nesse caso, se F for conservativo, podemos dizer que

∫ a b F d r = f b - f a

Bem mais fácil, não é? 😁

Passo 2

Calculando o rotacional de F , temos

R o t F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

R o t F = ∂ z ∂ y - ∂ y ∂ z , ∂ x ∂ z - ∂ z ∂ x , ∂ y ∂ x - ∂ x ∂ y

R o t F = 0 , 0 , 0

Agora vamos calcular sua função potencial...

F = ∇ f = x , y , z

Agora obtendo a função potencial f , temos

f = ∫ x d x = x 2 2 + f y , x

f = ∫ y d y = y 2 2 + f x , z

f = ∫ z d z = z 2 2 + f x , y

Portanto podemos definir f como

f x , y , z = x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

E finalmente...

Aplicando a relação

∫ a b F d r = f b - f a

Se b = 1,2 , 1 e a = 0,0 , 0 ...

∫ a b F d r = 1 2 2 + 2 2 2 + 1 2 - 0 2 2 + 0 2 2 + 0 2 2

∫ a b F d r = 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ a b F d r = 3

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