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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. A função f x , y , z = 1 r , onde r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 ≠ 0 , é um potencial para o campo F → r = - 1 r 3 r → , para r → = x , y , z ∈ R 3 - 0,0 , 0 .

Passo 1

Bom, para f ser um potencial do campo F → , precisamos que:

F → = ∇ f

Onde ∇ é o operador de derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x ,   ∂ ∂ y ,   ∂ ∂ z

Temos que mostrar então o seguinte:

F → = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Primeiro, nós vamos trabalhar com o lado esquerdo dessa equação, depois com o direito, ok?

Passo 2

Vamos começar achando quem é F → . O enunciado nos forneceu esses dados:

r → = x , y , z = - 1 r 3 r → e r → = x , y , z

Fazendo esse cálculo, temos que

F → r = - x r 3 , - y r 3 , - z r 3

O problema também nos forneceu quem é r :

r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

Substituindo o valor de r em F → r , ficamos com

F → x , y , z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Beleza?

Passo 3

Como vimos no Passo 1, queremos mostrar que

F → = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Já achamos quem é F → x , y , z , agora vamos achar as derivadas parciais de f .

O enunciado nos forneceu essa informação:

f x , y , z = 1 r e r = x 2 + y 2 + z 2 1 / 2

Substituindo o valor de r em f x , y , z , ficamos com

f x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 1 2

Agora é achar as derivadas parciais. Vamos lá!

∂ f ∂ x = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ y = - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

∂ f ∂ z = - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

O que nos dá

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Passo 4

Agora é verificar se

F → = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

E o que encontramos foi,

F → = ∇ f = - x x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - y x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 , - z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2

Resposta

Verdadeira.

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