Campos conservativos
Calcule a integral de linha da função vetorial ao longo da curva parametrizada por , .
Passo 1
Essa integral não parece muito simples de se calcular pela definição, não é? Vamos calcular o valor de para ver se conseguimos simplificar o problema. Temos:
Como
Como o campo está definido em todo o e tem o rotacional igual a zero, sabemos que esse campo é conservativo (a integral independe do caminho).
Nós poderíamos calcular a função potencial, como temos feito até então, mas nos depararíamos com , que não sabemos integrar. Então, vamos optar por outro caminho: escolher outra curva que ligue os pontos inicial e final da curva e calcular a integral ao longo dessa curva. Para facilitar as contas, vamos escolher o segmento de reta que liga esses pontos.
Lembre-se de que, por Green, temos:
Passo 2
Primeiramente, temos que descobrir o ponto inicial e o final de . Quando:
Passo 3
Vamos, então, parametrizar nossa reta. Temos uma reta que pertence ao eixo , pois sempre (e varia de a ). Cuidado com a orientação da curva! Podemos parametrizar então dessa forma: .
A derivada dessa parametrização será .
Passo 4
Aplicando tais valores na definição de integrais de linha, temos: