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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

Integrais de linha – caso vetorial

Determine se o campo vetorial

F x , y , z = s e n   y   i + cos ⁡ y j + e z   k

É conservativo. Calcule a integral de linha ∫ C   F . d r em que C é a curva dada por

r t = s e n   t   i + t   j + 2 t   ,           0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Vamos começar calculando o rotacional desse campo:

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 0 - 0,0 - 0,0 - cos ⁡ y = ( 0,0 , - cos ⁡ y )

Como r o t F → ≠ 0 , sabemos que o campo não é conservativo.

Passo 2

Bom, como o campo não é conservativo, vamos ter que calcular a integral de linha do enunciado pela definição mesmo, não tem jeito.

Vamos montar a integral:

∫ r   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ,   z ( t ) ⋅ r → ' t d t

Pelo enunciado já temos que a = 0 e b = π / 2 , pois é o intervalo de t da curva. O problema já nos deu a curva parametrizada, podemos escrevê-la como:

r t = ( s e n   t ,   t ,   2 t ) ,           0 ≤ t ≤ π 2

Passo 3

Agora calculamos r → ' t :

r → ' t = d ( sen ⁡ t ) d t ,   d ( t ) d t ,   d 2 t d t = ( cos ⁡ t ,   1,2 )

Passo 4

Vamos, então, substituir r → ' t na integral e escrever o campo em função do parâmetro t

O campo é dado por

F x , y , z = ( s e n   y   , cos ⁡ y , e z   )

Aplicando a parametrização

r t = ( s e n   t ,   t ,   2 t ) ,

Temos

F x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = ( s e n   t   , cos ⁡ t , e 2 t   )

Substituindo então na integral, temos

∫ 0 π / 2 ( s e n   t   , cos ⁡ t , e 2 t   ) . ( cos ⁡ t ,   1,2 ) d t =

= ∫ 0 π / 2 s e n   t cos ⁡ t + cos ⁡ t + 2 e 2 t d t =

Passo 5

Finalmente, calculamos a integral

= ∫ 0 π / 2 s e n   t cos ⁡ t d t + ∫ 0 π / 2 cos ⁡ t d t + 2 ∫ 0 π / 2 e 2 t d t =

= ∫ 0 π / 2 s e n   t cos ⁡ t d t + s e n t 0 π / 2 + e 2 t 0 π / 2 =

= ∫ 0 π / 2 s e n   t cos ⁡ t d t + 1 + e π - 1 =

= ∫ 0 π / 2 s e n   t cos ⁡ t d t + e π =

Beleza, agora para essa integral vamos nos lembrar do seguinte:

d sen 2 ⁡ t d t = 2 s e n   t cos ⁡ t

Logo

∫ s e n   t cos ⁡ t d t = 1 2 s e n 2 t

Temos então

= 1 2 s e n 2 t 0 π / 2 + e π =

= 1 2 + e π =

Resposta

1 2 + e π

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