Campos conservativos
- Considere o campo vetorial . Sem calcular funções potenciais justifique que é ou nao um campo conservativo.
- Encontre a família de funções potenciais para .
- Calcule
Onde consiste no arco de parábola dado por com .
Passo 1
Letra c)
Como o campo é de classe e está definido em todo (não temos singularidades), basta calcularmos o rotacional:
Show, mostramos que o campo é conservativo.
Passo 2
Letra d)
Vamos calcular então, temos:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Temos então o seguinte:
Vamos agora igualar termo a termo esses vetores.
Comparando as equações, vemos que:
O que nos dá
Passo 3
Letra e)
O problema nos pede a integral de linha
Onde consiste no arco de parábola dado por com .
E, pela definição de função potencial, nós sabemos do seguinte:
Ou seja, em um campo conservativo, a integral de linha sobre a curva é igual ao valor da sua função potencial no ponto final menos o valor no ponto inicial.
Vamos, então, descobrir esses pontos.
Fazendo , temos o ponto:
Fazendo :
Ou seja, temos: