Passo 1

a Primeiro, vamos olhar o domínio desse cara: a raiz quadrada a função não pode ter o x < 0 . Além disso, o quociente do 1 x não pode ser nulo, então x ≠ 0 . Juntando tudo, temos que ter

D o m :     x > 0

Agora, para achar assíntotas horizontais, aplicamos o limite dessa f x para x → + ∞ (não fazemos para x → - ∞ , pois o domínio dessa função só comporta valores acima de x = 0 ).

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x + 2 x = 1 ∞ + 2 ∞ = ∞

Sem assíntotas horizontais.

Para as assíntotas verticais, devemos aplicar o limite onde a função tem descontinuidades, ou seja, x → 0 + :

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ 1 x + 2 x = 1 0 + + 2 0 + = + ∞

Temos assíntota vertical em x = 0 .

Passo 2

b Vamos analisar a derivada dessa função:

f ' x = 1 x + 2 x = - 1 x 2 + 1 2 2 x

= 1 x - 1 x 2 = x x x 2 - 1 x 2 = x x - 1 x 2

Assim, se como x 2 é sempre positivo, tudo agora depende de observar o x x - 1 . Esse termo zera para um valores de x apenas:

x x = 1 →       x = 1

Com isso, teremos apenas um ponto crítico. Como esse x x - 1 será negativo antes desse ponto e positivo depois, o ponto é de mínimo.

Enfim, a função vai ser crescente para x > 1 , decrescente de x = 0 até x = 1 e tem um mínimo local em x = 1 .

Passo 3

c Vamos olhar a concavidade pela derivada segunda:

f ' ' x = 1 x - 1 x 2 ' = - 1 2 1 x 3 2 - - 2 1 x 3 = 2 x 3 - 1 2 x 3 2

= 2 x 3 - x 3 2 2 x 3 = 4 - x 3 2 2 x 3

Repara que, no nosso domínio de x > 0 , x 3 é sempre positivo. Logo, tudo depende de analisar o numerador dessa função: 4 - x 3 2 . Vamos ver onde ele zera:

4 - x 3 2 = 0   → x 3 2 = 4   →       x = 16 3

Temos o 4 - x 3 2 como um termo que é negativo antes desse ponto de inflexão em x = 16 3 e positivo depois que passamos dele.

Logo, f tem um ponto de inflexão em x = 16 3 , sendo côncava para cima de 0 até x = 16 3 e para baixo daí para frente.

Passo 4

d Esboçando, nós teremos:

(esboço extraído do gabarito original)

Resposta

a     A s s .   h o r i z o n t a l : -  

A s s .   v e r t i c a l :   x = 0

b   C r e s c e n t e   p a r a   x > 1 ; D e c r e s c e n t e   d e   x = 0   a t é   x = 1

M í n i m o   l o c a l   e m   x = 1

c p o n t o   d e   i n f l e x ã o   e m   x = 16 3

C ô n c a v a   p a r a   c i m a   d e   0   a t é   x = 16 3 ;

C ô n c a v a   p a r a   b a i x o   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o

d   f i g u r a   a c i m a

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